平方根
任意の正の数について √x を計算します
Enter any positive number to find its square root. Works with whole numbers, decimals, and large values.
√
平方根 電卓
正確な小数、簡略化された根号、詳細な解法ステップで、あらゆる数値の平方根（racine carrée）を瞬時に計算。完全無料で制限なし。
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目次 16 セクション 表示 非表示
定義と基礎
平方根（Racine Carrée）とは？
「Racine carrée」は平方根を表すフランス語です。世界中の学習者や技術者に親しまれている最も基本的な数学的概念の一つです。
平方根とは、自分自身を2回掛け合わせたときに元の数になる値のことです。7 × 7 = 49 なので、49の平方根は7になります。これは2乗（平方）の逆演算です。
数式では、x の平方根とは y × y = x（または y² = x）を満たす数 y を指します。
根号の各部名称 Click or hover over any part
√ 49 = 7
√
根号記号（√）
平方根を求める演算記号（ルート）
49
被開数（被根号数）
根号の中にある数値（例: √49 の 49）
7
平方根（結果）
算出された解（例: 7）
√4 = 2 2 × 2 = 4 であるため
√9 = 3 3 × 3 = 9 であるため
√16 = 4 4 × 4 = 16 であるため
√25 = 5 5 × 5 = 25 であるため
√100 = 10 10 × 10 = 100 であるため
使い方
平方根計算機の使い方
わずか3ステップで結果が得られます:
1
数値を入力
上の入力欄に計算したい数値（整数、小数、分数、負の数）を入力します。
2
「計算」をクリック
計算ボタンを押すと、高精度アルゴリズムで即座に処理されます。
3
結果を確認
正確な小数解、根号の簡約形（例: √72 = 6√2）、素因数分解の手順が表示されます。
公式を暗記していなくても、計算機がすべての手順を自動で実行します。
記法と指数
平方根の記法: √ 記号と x^(1/2)
根号記号 √ は平方根を表す世界標準の記号です。√36 は「2乗して36になる数は何か」を表し、答えは6です。
√ 根号（ルート記号）
36 根号の中の数
6 非負の主平方根
平方根の表現は、根号記号・被開数・根（結果）の3要素から成ります。
平方根は分数指数を用いて表すこともできます:
√x = y &Longleftrightarrow y² = x Standard mathematical radical sign
x^(1/2) = √x &Longleftrightarrow 49^(1/2) = 7 Fractional power notation used in advanced algebra
Math.sqrt(x) /* JavaScript */ | x ** 0.5 /* Python */ Syntax used in programming and scientific calculators
両者は数学的に全く同一です。プログラミング言語では通常 x^(1/2) が用いられます。
基本公式
平方根の定義式
平方根は以下の逆演算関係によって定義されます:
If y = √x, then y × y = x (or y² = x)
得られた数を2回掛け合わせると、必ず元の数値に戻るという性質です。
主平方根の規約
国際的な数学規約により、√ 記号は常に非負（正または0）の「主平方根」を表します。5と-5の双方が2乗で25になりますが、√25 = 5 と定めます。
Principal Root
√25 = +5 Dual Algebraic Solutions
x² = 25 ⇒ x = ±5 計算規則
平方根の5大基本性質
代数計算や根号の変形で必須となる5つの公式です:
1
1. 積の公式
√(a × b) = √a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)
√(a × b) = √a × √b
例: √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。直接計算: √36 = 6。
数を因数に分解して根号の外に出す際に使います（例: √72 = 6√2）。
2
2. 商の公式
√(a / b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)
√(a ÷ b) = √a ÷ √b
例: √(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2。直接計算: √4 = 2。
分数の分子と分母の平方根を別々に計算できます。
3
3. 累乗の公式
√(a²) = |a| (aの絶対値)
√(a²) = |a|
例: √(7²) = √49 = 7。2乗と根号は互いに打ち消し合います。
常に正の絶対値が得られます。
4
4. 同一根の積
√a × √a = a
√a × √a = a
例: √13 × √13 = 13。√5 × √5 = 5。
同じ根号同士を掛けると根号が外れます（分母の有理化: 1/√5 = √5/5）。
5
5. 二重根号
√(√a) = a^(1/4) (4乗根)
√(√a) = a^(1/4)
例: √(√16) = √4 = 2。16^(1/4) = 2。
根号の根号は元の数の4乗根になります。
計算方法
平方根の求め方: 4つの手法
状況に応じて使い分けられる4種類の手法があります:
手法2: 素因数分解法（平方数に最適）
整数や平方数の計算に最適です。
素因数分解の例
- 1. 数値を素数の積に分解する
- 2. 同じ素因数を2個ずつのペアにまとめる
- 3. 各ペアから1個を根号の外に出す
- 4. 外に出た因数同士を掛け合わせる
√144 → 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 → (2×2) × (2×2) × (3×3) → 2 × 2 × 3 = 12
√72 → 2 × 2 × 2 × 3 × 3 → 6 stays outside, 2 stays inside → 6√2 (≈8.485)
手法3: 開平法（筆算法）
電卓なしで任意の桁数まで正確に求められる筆算アルゴリズムです。
- 1. 小数点を基準に2桁ずつ区切る
- 2. 最初の区切りに入る最大の平方数を見つける
- 3. 引き算をして次の2桁を下ろし、得られた数を2倍する
- 4. 試行数字を見つけて手順を繰り返す
紙と鉛筆だけで厳密な小数を求める伝統的手法です。
手法4: 挟み撃ち近似法（暗算向け）
手元に電卓がないときのおおよその暗算に便利です:
例: √50の近似
- 1. 前後の平方数を探す: 49 < 50 < 64（つまり 7 < √50 < 8）
- 2. 50は49に極めて近いため、√50は7をわずかに上回る
- 3. 近似値: 約7.07（厳密値: 7.0711...）
バビロニア法（ニュートン法）の基礎となる考え方です。
平方数
平方数（完全平方数）の性質と重要性
平方数とは、平方根が整数になる整数のことです。整数を2乗することで作られます。
| 数 (n) | 平方数 (n²) | 平方根 (√n²) | 数 (n) | 平方数 (n²) | 平方根 (√n²) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | √1 = 1 | 11 | 121 | √121 = 11 |
| 2 | 4 | √4 = 2 | 12 | 144 | √144 = 12 |
| 3 | 9 | √9 = 3 | 13 | 169 | √169 = 13 |
| 4 | 16 | √16 = 4 | 14 | 196 | √196 = 14 |
| 5 | 25 | √25 = 5 | 15 | 225 | √225 = 15 |
| 6 | 36 | √36 = 6 | 16 | 256 | √256 = 16 |
| 7 | 49 | √49 = 7 | 17 | 289 | √289 = 17 |
| 8 | 64 | √64 = 8 | 18 | 324 | √324 = 18 |
| 9 | 81 | √81 = 9 | 19 | 361 | √361 = 19 |
| 10 | 100 | √100 = 10 | 20 | 400 | √400 = 20 |
最初の20個の平方数を記憶しておくと、数学の計算スピードが大幅に向上します。 Want to test any specific number? Check if any number is a perfect square using our checker →
無理数
非平方数と無理数のルート
完全平方数以外の整数の平方根は無理数となり、無限に続く循環しない小数になります。
√2
1.41421356...
Non-repeating & infinite
√3
1.73205080...
Non-repeating & infinite
√5
2.23606797...
Non-repeating & infinite
√7
2.64575131...
Non-repeating & infinite
√10
3.16227766...
Non-repeating & infinite
円周率 π と同様に、2つの整数の分数としては表せません。
当計算機では、高精度な小数値と正確な根号簡約形を両方提示します。
小数と分数
小数・分数の平方根
平方根は小数や分数にもそのまま適用できます:
小数の平方根
小数点の位置に注意して計算します:
- √0.25 = 0.5 (0.5 × 0.5 = 0.25)
- √0.49 = 0.7 (0.7 × 0.7 = 0.49)
- √2.25 = 1.5 (1.5 × 1.5 = 2.25)
分数の平方根
商の公式を用いて分子と分母の平方根を個別に求めます:
- √(1/4) = √1 / √4 = 1/2
- √(9/16) = √9 / √16 = 3/4
- √(25/49) = √25 / √49 = 5/7
確かめ算には上の計算機をご活用ください。
複素数
負の数の平方根と虚数単位 i
実数の範囲では、実数を2乗すると常に正になるため、負の数の平方根は存在しません。
これに対応するため、数学では虚数単位 i (i² = -1) を定義しています。公式: √(-a) = √a × i (a > 0)。
i = √(−1) &Longleftrightarrow i² = −1 &Longleftrightarrow √(−a) = √a × i
負の数の計算例
√(-1) → i
√(-4) → 2i
√(-9) → 3i
√(-16) → 4i
√(-81) → 9i
これらは複素数 (a + bi) を構成し、電気工学や量子力学で不可欠です。
当計算機は負の数にも自動対応し、虚数単位 i による解を表示します。 Need real roots for negative numbers? Calculate cube roots of negative numbers with real solutions →
逆演算
2乗（平方）と平方根の違い
2乗することと平方根を求めることは、加算と減算のように互いに逆の演算です。
8 Number
Squaring (8²) →
← Square Root (√64)
64 Square (n²)
| 演算 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 2乗する (x²) | 数を自分自身と掛け合わせる | 8² = 64 |
| 平方根をとる (√x) | 2乗して x になる数を見つける | √64 = 8 |
互いに逆の操作です: √(8²) = √64 = 8, および (√64)² = 8² = 64。
2乗すると符号が消えるため、主平方根では √(a²) = |a| が成り立ちます。
参照一覧表
1〜50の平方根一覧表
1から50までの平方根（小数4桁、簡約形、平方数フラグ付き）のクイック参照表です。
100までの印刷用一覧表が必要ですか？表ジェネレーターをご覧ください。
下にスクロールして全50件を確認できます ↓
| 数 (n) | 小数値 (√n) | 根号簡約形 | 分類 |
|---|---|---|---|
| 1 * | 1.0000 | 1 | 平方数 |
| 2 | 1.4142 | √2 | 無理数 |
| 3 | 1.7321 | √3 | 無理数 |
| 4 * | 2.0000 | 2 | 平方数 |
| 5 | 2.2361 | √5 | 無理数 |
| 6 | 2.4495 | √6 | 無理数 |
| 7 | 2.6458 | √7 | 無理数 |
| 8 | 2.8284 | 2√2 | 無理数 |
| 9 * | 3.0000 | 3 | 平方数 |
| 10 | 3.1623 | √10 | 無理数 |
| 11 | 3.3166 | √11 | 無理数 |
| 12 | 3.4641 | 2√3 | 無理数 |
| 13 | 3.6056 | √13 | 無理数 |
| 14 | 3.7417 | √14 | 無理数 |
| 15 | 3.8730 | √15 | 無理数 |
| 16 * | 4.0000 | 4 | 平方数 |
| 17 | 4.1231 | √17 | 無理数 |
| 18 | 4.2426 | 3√2 | 無理数 |
| 19 | 4.3589 | √19 | 無理数 |
| 20 | 4.4721 | 2√5 | 無理数 |
| 21 | 4.5826 | √21 | 無理数 |
| 22 | 4.6904 | √22 | 無理数 |
| 23 | 4.7958 | √23 | 無理数 |
| 24 | 4.8990 | 2√6 | 無理数 |
| 25 * | 5.0000 | 5 | 平方数 |
| 26 | 5.0990 | √26 | 無理数 |
| 27 | 5.1962 | 3√3 | 無理数 |
| 28 | 5.2915 | 2√7 | 無理数 |
| 29 | 5.3852 | √29 | 無理数 |
| 30 | 5.4772 | √30 | 無理数 |
| 31 | 5.5678 | √31 | 無理数 |
| 32 | 5.6569 | 4√2 | 無理数 |
| 33 | 5.7446 | √33 | 無理数 |
| 34 | 5.8310 | √34 | 無理数 |
| 35 | 5.9161 | √35 | 無理数 |
| 36 * | 6.0000 | 6 | 平方数 |
| 37 | 6.0828 | √37 | 無理数 |
| 38 | 6.1644 | √38 | 無理数 |
| 39 | 6.2450 | √39 | 無理数 |
| 40 | 6.3246 | 2√10 | 無理数 |
| 41 | 6.4031 | √41 | 無理数 |
| 42 | 6.4807 | √42 | 無理数 |
| 43 | 6.5574 | √43 | 無理数 |
| 44 | 6.6332 | 2√11 | 無理数 |
| 45 | 6.7082 | 3√5 | 無理数 |
| 46 | 6.7823 | √46 | 無理数 |
| 47 | 6.8557 | √47 | 無理数 |
| 48 | 6.9282 | 4√3 | 無理数 |
| 49 * | 7.0000 | 7 | 平方数 |
| 50 | 7.0711 | 5√2 | 無理数 |
根号の簡約
ルートの簡単化（簡約）例
ルートの簡約とは、被開数から最大の平方数を外にくくり出すことです:
| 元の根号 | 簡約形 | 因数分解と理由 | Test |
|---|---|---|---|
| √8 | √(4 × 2) → 2√2 | 8 = 4 × 2, √4 = 2 | |
| √12 | √(4 × 3) → 2√3 | 12 = 4 × 3, √4 = 2 | |
| √18 | √(9 × 2) → 3√2 | 18 = 9 × 2, √9 = 3 | |
| √20 | √(4 × 5) → 2√5 | 20 = 4 × 5, √4 = 2 | |
| √32 | √(16 × 2) → 4√2 | 32 = 16 × 2, √16 = 4 | |
| √45 | √(9 × 5) → 3√5 | 45 = 9 × 5, √9 = 3 | |
| √50 | √(25 × 2) → 5√2 | 50 = 25 × 2, √25 = 5 | |
| √72 | √(36 × 2) → 6√2 | 72 = 36 × 2, √36 = 6 | |
| √75 | √(25 × 3) → 5√3 | 75 = 25 × 3, √25 = 5 | |
| √98 | √(49 × 2) → 7√2 | 98 = 49 × 2, √49 = 7 | |
| √200 | √(100 × 2) → 10√2 | 200 = 100 × 2, √100 = 10 |
積の公式を利用して整数部分を外にくくり出します。
実社会の応用
日常生活や専門分野における平方根の活用
平方根は科学・工学・日常生活のあらゆる場面に登場します:
建築・設計
三平方の定理（ピタゴラスの定理: a² + b² = c²）を用いた対角線や屋根の勾配計算（例: √(3² + 4²) = 5m）。
金融・投資分析
ポートフォリオのリスクや価格変動幅を表す標準偏差は、分散の平方根として計算されます。
物理・工学
自由落下の速度（v = √(2gh)）、振り子の周期、交流回路のインピーダンス計算。
CG・プログラミング
3D空間のユークリッド距離計算、当たり判定、探索アルゴリズムの計算量 √n。
身近な広さの測定
床面積から部屋の辺の長さを算出: 64㎡の部屋の1辺は √64 = 8m。
よくある質問
よくある質問（FAQ）
平方根計算機の使い方は？
上の枠に数字を入力して「計算」をクリックするだけです。小数解、簡約形、計算の道筋が瞬時に表示されます。
「racine carrée」とはどういう意味ですか？
フランス語で「平方根（スクエアルート）」を意味し、2乗するとその数になる値を指します。
負の数（マイナス）の計算はできますか？
はい。虚数単位 i を用いた複素数解（例: √(-16) = 4i）とステップ解説を表示します。
平方根と立方根の違いは？
平方根は2回掛ける数（2乗根）、立方根は3回掛ける数（3乗根）を求めます。
電卓なしで平方根を求めるには？
素因数分解、筆算による開平法、またはバビロニア法による近似計算を用います。
完全平方数とは？
平方根が整数になる整数のことです（1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 など）。
平方根はすべて有理数ですか？
いいえ。完全平方数のみが有理数になり、その他の数はすべて無理数です。
利用料金はかかりますか？
いいえ。当サイトのツールは完全無料で回数制限もなくご利用いただけます。
分数や小数のルートも計算できますか？
はい。小数や分数をそのまま入力して正確に求められます。
主平方根とは何ですか？
√ 記号が表す非負（0以上）の解のことを指します。
まとめ
まとめと重要ポイント
基本原則
平方根とは「自分自身と掛けてその数になる値は何か」を答えるものです。手軽で正確な計算にはぜひ当ツールをご活用ください。
Definition: √x is the non-negative value y such that y² = x.
Simplification: Factor out perfect square integers using √(a × b) = √a × √b.
Complex Numbers: Negative numbers evaluate cleanly via the imaginary unit i (√(−a) = i√a).