n-वाँ मूल कैलकुलेटर
किसी भी मूल — 4th, 5th या कस्टम डिग्री की गणना करें
मूल की घात (n)।
n
वह संख्या जिसका मूल निकालना है।
x
n-वाँ मूल कैलकुलेटर
किसी भी संख्या के लिए चौथे, पाँचवें या कस्टम घात n का मूल तुरंत निकालें। सरल करणी रूप और पूर्ण हल।
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संपूर्ण मार्गदर्शिका
n-वां मूल (Nth Root) क्या है?
आप वर्गमूल (घात 2) और घनमूल (घात 3) से भली-भांति परिचित हैं। परंतु जब आपको 4th, 5th या किसी उच्च घात के मूल की आवश्यकता हो, तो क्या करें? यह n-वां मूल कैलकुलेटर विशेष रूप से इसी उद्देश्य के लिए तैयार किया गया है।
n-वां मूल गुणा की किसी भी संख्या के लिए मूल की अवधारणा का सामान्यीकरण करता है: कौन सी संख्या स्वयं से n बार गुणा करने पर यह मान देती है?
इंटरैक्टिव अंकगणित संरचना इसकी गणितीय भूमिका देखने के लिए किसी भी भाग पर क्लिक करें
⁴ √ 81 = 3
1. मूल सूचकांक (घात n)
करणी चिह्न के ऊपरी बाएं कोने की छोटी संख्या। यह तय करती है कि कितने समान गुणकों का गुणन होगा। यदि खाली हो तो 2 माना जाता है।
2. करणी चिह्न और रेखा
गणितीय संक्रिया चिह्न (√)। ऊपरी क्षैतिज रेखा संख्या को घेरती है।
3. करणीगत संख्या (x)
करणी के नीचे की संख्या। सम n होने पर वास्तविक परिणाम के लिए इसे गैर-ऋणात्मक (x ≥ 0) होना चाहिए।
4. मुख्य मूल (y)
गैर-ऋणात्मक वास्तविक उत्तर। ⁴√81 के लिए मुख्य मूल 3 है क्योंकि 3⁴ = 81 होता है।
उदाहरण: 16 का चौथा मूल 2 है, क्योंकि 2 × 2 × 2 × 2 = 16 होता है।
सूत्र एवं परिभाषा
n-वें मूल का गणितीय सूत्र
n-वां मूल घातांक की विपरीत संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है:
ⁿ√x = x^(1/n)
यदि y = ⁿ√x है, तो yⁿ = x होता है। y को n की घात पर बढ़ाने से x प्राप्त होता है।
ⁿ√(x^m) = (ⁿ√x)^m = x^(m/n)
n = 2
n = 2 → वर्गमूल
√x (दो बार गुणा)
√64 = 64^(1/2) = 8
n = 3
n = 3 → घनमूल
∛x (तीन बार गुणा)
∛125 = 125^(1/3) = 5
n = 4
n = 4 → चतुर्थ मूल
⁴√x (चार बार गुणा)
⁴√625 = 625^(1/4) = 5
n = 5
n = 5
⁵√x
⁵√1024 = 1024^(1/5) = 4
सम बनाम विषम
सम बनाम विषम घात: ऋणात्मक संख्याओं का नियम
ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक मूल होना घात n के सम या विषम होने पर निर्भर करता है:
मूल घात और चिह्न सिम्युलेटर
परिणाम देखने के लिए मूल घात और संख्या का चिह्न चुनें:
मूल घात (n):
संख्या का मान (x):
2 वास्तविक मूल (मुख्य मूल +)
⁴√81 = 3
जब सूचकांक सम हो और संख्या धनात्मक हो, तो दो वास्तविक मूल होते हैं (±)। करणी चिह्न धनात्मक मुख्य मूल को दर्शाता है। सत्यापन: 3⁴ = 81।
गणितीय कारण:
ऋणात्मक गुणनखंडों की सम संख्या का गुणनफल धनात्मक होता है, जबकि विषम संख्या में ऋण चिह्न बना रहता है।
उपयोग विधि
n-वां मूल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पूर्ण n-वीं घात के गुणनखंडों को बाहर निकालकर करणी को सरल किया जाता है:
सटीक सरलीकरण
पूर्ण घातों के लिए अभाज्य गुणनखंड
पूर्ण n-वीं घात के गुणनखंडों को बाहर निकालकर करणी को सरल किया जाता है:
उदाहरण: ⁴√32 को सरल करें
- 32 को पूर्ण 4th घात में तोड़ें: 32 = 16 × 2
- चूँकि 16 = 2⁴ है, अतः 2 को बाहर निकालें: ⁴√32 = ⁴√(16 × 2) = 2⁴√2
- उच्चतम पूर्ण n-वीं घात बाहर निकालने पर सरलतम करणी रूप प्राप्त होता है।
स्प्रेडशीट और डिजिटल उपकरण
भिन्नात्मक घातांक कुंजी क्रम
n-वां मूल घातांक की विपरीत संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है:
1
मूल घात दर्ज करें (n)
पहले बॉक्स में धनात्मक पूर्णांक n दर्ज करें (उदा. चौथे मूल के लिए 4)।
2
संख्या दर्ज करें (x)
दूसरे बॉक्स में करणीगत संख्या दर्ज करें।
3
कैलकुलेट पर क्लिक करें
सटीक दशमलव मान और सरलीकृत करणी रूप तुरंत प्राप्त करें।
संख्यात्मक एल्गोरिथ्म
न्यूटन-राफसन पुनरावृत्ति विधि
कंप्यूटर प्रोसेसर पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करके मनमाने मूल की गणना करते हैं:
x_(k+1) = (1/n) · [ (n - 1)·x_k + A / (x_k^(n-1)) ]
प्रदर्शन: ∛30 का सन्निकटन (n = 3, A = 30)
- आरंभिक अनुमान: चूंकि 3³ = 27, हम x₀ = 3 चुनते हैं।
- पुनरावृत्ति 1: x₁ = (1/3) · [2(3) + 30/3²] = (1/3) · [6 + 3.3333] = 3.1111।
- पुनरावृत्ति 2: x₂ = (1/3) · [2(3.1111) + 30/(3.1111²)] = 3.1072।
- सत्यापन: 3.1072³ = 29.999। केवल दो चरणों में 4 दशमलव स्थानों की सटीकता प्राप्त होती है।
Checking integer powers? Test for perfect square prime factor exponents →
चिह्न एवं संकेतन
n-वां मूल प्रतीक: ⁿ√ का क्या अर्थ है?
n-वां मूल प्रतीक करणी चिह्न (√) के ऊपरी कोने में n लिखकर दर्शाया जाता है:
ⁿ√x «x का n-वां मूल»
n = करणी घात (Index) मूल की कोटि
x = करणीगत (Radicand) चिह्न के अंदर की संख्या
जब घात नहीं लिखी होती (√x), तो n = 2 माना जाता है। भिन्नात्मक घातांक रूप में:
ⁿ√x = x^(1/n)। दोनों संकेतन एक ही गणितीय संक्रिया को दर्शाते हैं।
संदर्भ तालिका
संदर्भ तालिका: प्रमुख पूर्ण घातों के n-वें मूल
प्रमुख पूर्ण घातांक संख्याएँ और उनके पूर्णांक मूल:
तालिका देखने के लिए स्क्रॉल करें ↓
| मूल घात (n) | संख्या (x) | गणितीय रूप | मुख्य मूल | क्रिया |
|---|---|---|---|---|
| n = 2 | 16 | √16 = 16^(1/2) | 4 | |
| n = 2 | 49 | √49 = 49^(1/2) | 7 | |
| n = 2 | 144 | √144 = 144^(1/2) | 12 | |
| n = 3 | 27 | ∛27 = 27^(1/3) | 3 | |
| n = 3 | 64 | ∛64 = 64^(1/3) | 4 | |
| n = 3 | 125 | ∛125 = 125^(1/3) | 5 | |
| n = 3 | 1000 | ∛1000 = 1000^(1/3) | 10 | |
| n = 4 | 16 | ⁴√16 = 16^(1/4) | 2 | |
| n = 4 | 81 | ⁴√81 = 81^(1/4) | 3 | |
| n = 4 | 256 | ⁴√256 = 256^(1/4) | 4 | |
| n = 4 | 625 | ⁴√625 = 625^(1/4) | 5 | |
| n = 4 | 1296 | ⁴√1296 = 1296^(1/4) | 6 | |
| n = 5 | 32 | ⁵√32 = 32^(1/5) | 2 | |
| n = 5 | 243 | ⁵√243 = 243^(1/5) | 3 | |
| n = 5 | 1024 | ⁵√1024 = 1024^(1/5) | 4 | |
| n = 5 | 3125 | ⁵√3125 = 3125^(1/5) | 5 | |
| n = 6 | 64 | ⁶√64 = 64^(1/6) | 2 | |
| n = 6 | 729 | ⁶√729 = 729^(1/6) | 3 | |
| n = 6 | 4096 | ⁶√4096 = 4096^(1/6) | 4 | |
| n = 7 | 128 | ⁷√128 = 128^(1/7) | 2 | |
| n = 7 | 2187 | ⁷√2187 = 2187^(1/7) | 3 | |
| n = 8 | 256 | ⁸√256 = 256^(1/8) | 2 | |
| n = 8 | 6561 | ⁸√6561 = 6561^(1/8) | 3 | |
| n = 10 | 1024 | ¹⁰√1024 = 1024^(1/10) | 2 | |
| n = 10 | 59049 | ¹⁰√59049 = 59049^(1/10) | 3 |
Focusing specifically on degree 2 or 3? Use our dedicated step-by-step square root calculator or racine cubique calculator with negative number handling.
व्यावहारिक अनुप्रयोग
दैनिक जीवन और विज्ञान में n-वें मूल का उपयोग
उच्च घात वाले मूल उन्नत विज्ञान और वित्त में अत्यंत उपयोगी हैं:
वित्त एवं चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर (CAGR)
CAGR की गणना में n-वां मूल प्रयुक्त होता है: CAGR = ⁿ√(अंतिम/प्रारंभिक) − 1।
सांख्यिकी एवं गुणोत्तर माध्य
n मानों का गुणोत्तर माध्य ⁿ√(x₁·x₂·...·xₙ) होता है, जो विकास दरों के लिए सर्वोत्तम है।
इंजीनियरिंग एवं भौतिकी
एरोडायनामिक्स और सामग्री विज्ञान में बहु-आयामी स्केलिंग नियमों में n-वें मूल का प्रयोग होता है।
कंप्यूटर विज्ञान एवं क्रिप्टोग्राफी
RSA जैसी असममित एन्क्रिप्शन प्रणालियाँ मॉड्यूलर n-वें मूल की गणना जटिलता पर आधारित हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
n-वें मूल के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
वर्गमूल और घनमूल में क्या अंतर है?
वर्गमूल घात 2 के लिए होता है और घनमूल घात 3 के लिए। घनमूल में ऋणात्मक संख्याओं के भी वास्तविक हल होते हैं।
n-वें मूल का सूचकांक (घातांक n) क्या है?
सूचकांक n मूल की डिग्री को दर्शाता है (ⁿ√x में 'n')। n=2 वर्गमूल है, n=3 घनमूल है, आदि।
क्या ऋणात्मक संख्या का n-वाँ मूल निकल सकता है?
यदि n विषम (3, 5, 7...) है तो वास्तविक हल होता है। यदि n सम (2, 4, 6...) है तो कोई वास्तविक हल नहीं होता।
क्या यह कैलकुलेटर मुफ़्त है?
हाँ, हमारे सभी कैलकुलेटर बिना किसी पंजीकरण के 100% मुफ़्त हैं।
मुख्य बिंदु:
n-वां मूल वह संख्या ज्ञात करता है जिसे n बार स्वयं से गुणा करने पर x प्राप्त हो। विषम घात ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं को स्वीकार करती है; सम घात धनात्मक मान चाहती है।
