रैसीन कैरी वर्गमूल कैलकुलेटर

सटीक दशमलव मान सरलीकृत करणी रूप चरण-दर-चरण विधि 100% मुफ्त और असीमित

त्वरित उदाहरण:

विषय सूची 16 अनुभाग

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परिभाषा और समझ

वर्गमूल (Racine Carrée) क्या है?

«Racine carrée» वर्गमूल (Square Root) के लिए फ्रांसीसी शब्द है। यह दुनिया भर में छात्रों और गणित प्रेमियों द्वारा सबसे अधिक खोजे जाने वाले विषयों में से एक है।

किसी संख्या का वर्गमूल वह मान होता है जिसे स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। यदि आप 7 को 7 से गुणा करते हैं, तो 49 प्राप्त होता है। इसलिए 49 का वर्गमूल 7 है।

गणितीय रूप से, संख्या x का वर्गमूल वह संख्या y है जिसके लिए y × y = x (या y² = x) होता है।

वर्गमूल व्यंजक के अंग Click or hover over any part

√ 49 = 7

√

करणी चिह्न (√)

वर्गमूल निकालने का गणितीय संकेत

करणीगत संख्या

करणी के अंदर स्थित संख्या (उदा. √49 में 49)

मूल (परिणाम)

गणना से प्राप्त उत्तर (उदा. 7)

√4 = 2 क्योंकि 2 × 2 = 4

√9 = 3 क्योंकि 3 × 3 = 9

√16 = 4 क्योंकि 4 × 4 = 16

√25 = 5 क्योंकि 5 × 5 = 25

√100 = 10 क्योंकि 10 × 10 = 100

ज्यामितीय निरूपण: क्षेत्रफल से वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात करना

उपयोग विधि

वर्गमूल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें?

तीन आसान चरणों में उत्तर प्राप्त करें:

संख्या दर्ज करें

ऊपर दिए गए बॉक्स में कोई भी संख्या (पूर्णांक, दशमलव, भिन्न या ऋणात्मक) लिखें।

गणना करें पर क्लिक करें

तुरंत परिणाम प्राप्त करने के लिए बटन दबाएं।

परिणाम देखें

कैलकुलेटर सटीक दशमलव, सरलीकृत रूप (उदा. √72 = 6√2) और हल दिखाता है।

कोई कठिन सूत्र याद रखने की आवश्यकता नहीं है; कैलकुलेटर सब कुछ हल कर देता है।

संकेत और घातांक

वर्गमूल संकेत: √ प्रतीक और x^(1/2)

√ मानक करणी चिह्न है। √36 का अर्थ है: कौन सी संख्या स्वयं से गुणा होकर 36 बनती है? उत्तर 6 है।

√ करणी प्रतीक

36 करणीगत मान

6 मुख्य धनात्मक मान

व्यंजक में करणी प्रतीक, करणीगत संख्या और प्राप्त परिणाम शामिल होते हैं।

वर्गमूल को भिन्न घातांक के रूप में भी लिखा जाता है:

√x = y &Longleftrightarrow y² = x Standard mathematical radical sign

x^(1/2) = √x &Longleftrightarrow 49^(1/2) = 7 Fractional power notation used in advanced algebra

Math.sqrt(x) /* JavaScript */ | x ** 0.5 /* Python */ Syntax used in programming and scientific calculators

दोनों रूप समान हैं। प्रोग्रामिंग भाषाएं सामान्यतः x^(1/2) का उपयोग करती हैं।

करणी प्रतीक √x और भिन्नात्मक घात x^(1/2) की समानता

मूल सूत्र

वर्गमूल का सूत्र क्या है?

वर्गमूल एक व्युत्क्रम संबंध द्वारा परिभाषित होता है:

If y = \sqrtx, then y \times y = x (or y² = x)

प्राप्त संख्या को स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या वापस मिलनी चाहिए।

मुख्य वर्गमूल का नियम

अंतर्राष्ट्रीय मानक के अनुसार √ चिह्न हमेशा अऋणात्मक (धनात्मक) मान दर्शाता है। हालांकि 5 और -5 दोनों का वर्ग 25 है, पर √25 = 5 ही मान्य है।

Principal Root √25 = +5

Dual Algebraic Solutions x² = 25 ⇒ x = ±5

महत्वपूर्ण नियम

वर्गमूल के पांच प्रमुख गुणधर्म

ये नियम बीजीय व्यंजकों को हल करने में सहायता करते हैं:

1. गुणन नियम

√(a × b) = √a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0 के लिए)

\sqrt(a \times b) = \sqrta \times \sqrtb

उदाहरण: √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6. सीधे: √36 = 6.

गुणनखंडों को अलग करके करणी को सरल बनाता है (उदा. √72 = 6√2)।

2. भाग नियम

√(a / b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0 के लिए)

\sqrt(a \div b) = \sqrta \div \sqrtb

उदाहरण: √(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2. सीधे: √4 = 2.

अंश और हर का वर्गमूल अलग-अलग निकालने की सुविधा देता है।

3. घात नियम

√(a²) = |a| (a का निरपेक्ष मान)

\sqrt(a²) = |a|

उदाहरण: √(7²) = √49 = 7. वर्ग और वर्गमूल एक-दूसरे को निरस्त करते हैं।

संख्या का निरपेक्ष धनात्मक मान देता है।

4. स्वयं से गुणन

√a × √a = a

\sqrta \times \sqrta = a

उदाहरण: √13 × √13 = 13. √5 × √5 = 5.

करणी चिह्न समाप्त करता है (हर का परिमेयकरण: 1/√5 = √5/5)।

5. करणी की करणी

√(√a) = a^(1/4) (चतुर्थ मूल)

\sqrt(\sqrta) = a^(1/4)

उदाहरण: √(√16) = √4 = 2. और 16^(1/4) = 2.

संख्या का चतुर्थ मूल प्रदान करता है।

गणना विधियाँ

वर्गमूल निकालने की 4 विधियाँ

वर्गमूल ज्ञात करने की चार प्रमुख विधियाँ हैं:

विधि 1: यह ऑनलाइन कैलकुलेटर (सबसे तेज)

ऊपर संख्या दर्ज करें और तुरंत उत्तर पाने के लिए गणना करें पर क्लिक करें।

ऊपर कैलकुलेटर पर जाएं

विधि 2: अभाज्य गुणनखंड विधि (पूर्ण वर्ग हेतु)

पूर्ण वर्ग संख्याओं के लिए सर्वोत्तम विधि।

गुणनखंड उदाहरण

1. संख्या के अभाज्य गुणनखंड करें
2. समान गुणनखंडों के जोड़े बनाएं
3. प्रत्येक जोड़े से एक गुणनखंड बाहर निकालें
4. बाहर निकाले गए गुणनखंडों का गुणा करें

√144 → 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 → (2×2) × (2×2) × (3×3) → 2 × 2 × 3 = 12

√72 → 2 × 2 × 2 × 3 × 3 → 6 stays outside, 2 stays inside → 6√2 (≈8.485)

विधि 3: भाग विधि (दीर्घ विभाजन)

बिना कैलकुलेटर के किसी भी दशमलव परिशुद्धता तक हल करने की विधि।

1. दशमलव से अंकों के जोड़े बनाएं
2. पहले जोड़े के लिए निकटतम पूर्ण वर्ग खोजें
3. घटाएं, अगला जोड़ा उतारें और भाजक को दोगुना करें
4. परीक्षण अंक खोजें और प्रक्रिया दोहराएं

कागज़ और कलम से हल करने की प्रामाणिक विधि।

विधि 4: सन्निकटन (अनुमान विधि)

मन में तुरंत अनुमान लगाने के लिए:

उदाहरण: √50 का अनुमान

1. निकटतम पूर्ण वर्ग पहचानें: 49 < 50 < 64 (अर्थात 7 < √50 < 8)
2. चूंकि 50 संख्या 49 के अत्यंत समीप है, मान 7 से थोड़ा अधिक होगा
3. अनुमान: लगभग 7.07 (वास्तविक मान: 7.0711...)

यह बेबीलोनियन विधि (न्यूटन-रैफसन विधि) का आधार है।

पूर्ण वर्ग

पूर्ण वर्ग संख्याएँ: परिभाषा और उपयोग

पूर्ण वर्ग वह संख्या है जिसका वर्गमूल एक पूर्णांक होता है।

संख्या (n)	पूर्ण वर्ग (n²)	वर्गमूल (√n²)	संख्या (n)	पूर्ण वर्ग (n²)	वर्गमूल (√n²)
1	1	√1 = 1	11	121	√121 = 11
2	4	√4 = 2	12	144	√144 = 12
3	9	√9 = 3	13	169	√169 = 13
4	16	√16 = 4	14	196	√196 = 14
5	25	√25 = 5	15	225	√225 = 15
6	36	√36 = 6	16	256	√256 = 16
7	49	√49 = 7	17	289	√289 = 17
8	64	√64 = 8	18	324	√324 = 18
9	81	√81 = 9	19	361	√361 = 19
10	100	√100 = 10	20	400	√400 = 20

प्रथम 20 पूर्ण वर्ग याद रखने से गणना बहुत आसान हो जाती है। Want to test any specific number? Check if any number is a perfect square using our checker →

n भुजा और n² क्षेत्रफल वाले वर्गों का ज्यामितीय चित्रण

अपरिमेय संख्याएँ

अपूर्ण वर्ग और अपरिमेय मूल

जो संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती, उसका वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या होता है जिसका दशमलव प्रसार अनावर्ती और अनंत होता है।

√2

1.41421356...

Non-repeating & infinite

√3

1.73205080...

Non-repeating & infinite

√5

2.23606797...

Non-repeating & infinite

√7

2.64575131...

Non-repeating & infinite

√10

3.16227766...

Non-repeating & infinite

इन्हें भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता (जैसे π)।

हमारा कैलकुलेटर सटीक दशमलव और सरलीकृत करणी दोनों देता है।

दशमलव व भिन्न

दशमलव और भिन्न संख्याओं का वर्गमूल

वर्गमूल दशमलव और भिन्नों पर सुगमता से लागू होता है:

दशमलव का वर्गमूल

दशमलव स्थानों को ध्यान में रखकर सीधे गणना की जाती है:

√0.25 = 0.5 (0.5 × 0.5 = 0.25)
√0.49 = 0.7 (0.7 × 0.7 = 0.49)
√2.25 = 1.5 (1.5 × 1.5 = 2.25)

भिन्नों का वर्गमूल

भाग नियम द्वारा अंश और हर का अलग-अलग मूल निकालें:

√(1/4) = √1 / √4 = 1/2
√(9/16) = √9 / √16 = 3/4
√(25/49) = √25 / √49 = 5/7

अपने उत्तर की जांच के लिए ऊपर दिए गए कैलकुलेटर में भिन्न दर्ज करें।

सम्मिश्र संख्याएँ

ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल और काल्पनिक इकाई i

वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल संभव नहीं है क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है।

इसके लिए काल्पनिक इकाई i परिभाषित की गई है (i² = -1)। सूत्र: √(-a) = √a × i (a > 0 हेतु)।

i = \sqrt(-1) &Longleftrightarrow i² = -1 &Longleftrightarrow \sqrt(-a) = \sqrta \times i

ऋणात्मक संख्याओं के उदाहरण

√(-1) → i

√(-4) → 2i

√(-9) → 3i

√(-16) → 4i

√(-81) → 9i

ये संख्याएं सम्मिश्र संख्या (a + bi) बनाती हैं, जो इंजीनियरिंग और भौतिकी में आवश्यक हैं।

कैलकुलेटर ऋणात्मक संख्याओं के लिए काल्पनिक परिणाम स्वतः प्रदान करता है। Need real roots for negative numbers? Calculate cube roots of negative numbers with real solutions →

व्युत्क्रम संक्रियाएं

वर्ग करने और वर्गमूल में अंतर

वर्ग करना और वर्गमूल निकालना एक-दूसरे की विपरीत संक्रियाएं हैं।

8 Number

Squaring (8²) →

← Square Root (√64)

64 Square (n²)

संक्रिया	कार्य	उदाहरण
वर्ग करना (x²)	संख्या को स्वयं से गुणा करना	`8² = 64`
वर्गमूल (√x)	वह संख्या खोजना जिसका वर्ग x हो	`√64 = 8`

एक संक्रिया दूसरी को निरस्त करती है: √(8²) = √64 = 8, और (√64)² = 8² = 64.

वर्ग करने से चिह्न हट जाते हैं, इसलिए नियम: √(a²) = |a|.

संदर्भ सारणी

1 से 50 तक की संपूर्ण वर्गमूल सारणी

1 से 50 तक की संख्याओं के दशमलव मान और सरलीकृत रूप की तालिका।

प्रिंट करने योग्य 100 तक की तालिका चाहिए? हमारा चार्ट जनरेटर देखें।

सभी 50 मान देखने के लिए नीचे स्क्रॉल करें ↓

संख्या (n)	दशमलव (√n)	सरलीकृत रूप	प्रकार
1 *	`1.0000`	1	पूर्ण वर्ग
2	`1.4142`	√2	अपरिमेय
3	`1.7321`	√3	अपरिमेय
4 *	`2.0000`	2	पूर्ण वर्ग
5	`2.2361`	√5	अपरिमेय
6	`2.4495`	√6	अपरिमेय
7	`2.6458`	√7	अपरिमेय
8	`2.8284`	2√2	अपरिमेय
9 *	`3.0000`	3	पूर्ण वर्ग
10	`3.1623`	√10	अपरिमेय
11	`3.3166`	√11	अपरिमेय
12	`3.4641`	2√3	अपरिमेय
13	`3.6056`	√13	अपरिमेय
14	`3.7417`	√14	अपरिमेय
15	`3.8730`	√15	अपरिमेय
16 *	`4.0000`	4	पूर्ण वर्ग
17	`4.1231`	√17	अपरिमेय
18	`4.2426`	3√2	अपरिमेय
19	`4.3589`	√19	अपरिमेय
20	`4.4721`	2√5	अपरिमेय
21	`4.5826`	√21	अपरिमेय
22	`4.6904`	√22	अपरिमेय
23	`4.7958`	√23	अपरिमेय
24	`4.8990`	2√6	अपरिमेय
25 *	`5.0000`	5	पूर्ण वर्ग
26	`5.0990`	√26	अपरिमेय
27	`5.1962`	3√3	अपरिमेय
28	`5.2915`	2√7	अपरिमेय
29	`5.3852`	√29	अपरिमेय
30	`5.4772`	√30	अपरिमेय
31	`5.5678`	√31	अपरिमेय
32	`5.6569`	4√2	अपरिमेय
33	`5.7446`	√33	अपरिमेय
34	`5.8310`	√34	अपरिमेय
35	`5.9161`	√35	अपरिमेय
36 *	`6.0000`	6	पूर्ण वर्ग
37	`6.0828`	√37	अपरिमेय
38	`6.1644`	√38	अपरिमेय
39	`6.2450`	√39	अपरिमेय
40	`6.3246`	2√10	अपरिमेय
41	`6.4031`	√41	अपरिमेय
42	`6.4807`	√42	अपरिमेय
43	`6.5574`	√43	अपरिमेय
44	`6.6332`	2√11	अपरिमेय
45	`6.7082`	3√5	अपरिमेय
46	`6.7823`	√46	अपरिमेय
47	`6.8557`	√47	अपरिमेय
48	`6.9282`	4√3	अपरिमेय
49 *	`7.0000`	7	पूर्ण वर्ग
50	`7.0711`	5√2	अपरिमेय

करणी सरलीकरण

वर्गमूल सरलीकरण के उदाहरण

करणी को सरल करने का अर्थ है उसमें से सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालना:

मूल करणी	सरलीकृत रूप	गुणनखंड व स्पष्टीकरण
√8	`√(4 × 2)` → 2√2	8 = 4 × 2, √4 = 2
√12	`√(4 × 3)` → 2√3	12 = 4 × 3, √4 = 2
√18	`√(9 × 2)` → 3√2	18 = 9 × 2, √9 = 3
√20	`√(4 × 5)` → 2√5	20 = 4 × 5, √4 = 2
√32	`√(16 × 2)` → 4√2	32 = 16 × 2, √16 = 4
√45	`√(9 × 5)` → 3√5	45 = 9 × 5, √9 = 3
√50	`√(25 × 2)` → 5√2	50 = 25 × 2, √25 = 5
√72	`√(36 × 2)` → 6√2	72 = 36 × 2, √36 = 6
√75	`√(25 × 3)` → 5√3	75 = 25 × 3, √25 = 5
√98	`√(49 × 2)` → 7√2	98 = 49 × 2, √49 = 7
√200	`√(100 × 2)` → 10√2	200 = 100 × 2, √100 = 10

गुणन नियम से पूर्ण वर्ग संख्याओं को करणी के बाहर लाया जाता है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

दैनिक जीवन में वर्गमूल के उपयोग

वर्गमूल विज्ञान, निर्माण और वित्तीय विश्लेषण में हर जगह प्रयुक्त होते हैं:

भवन निर्माण और वास्तुकला

पाइथागोरस प्रमेय (a² + b² = c²) द्वारा विकर्ण और ढलान की माप (उदा. √(3² + 4²) = 5 मीटर)।

वित्त और निवेश

निवेश जोखिम और उतार-चढ़ाव को मापने वाला मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल होता है।

भौतिकी और यांत्रिकी

मुक्त पतन का वेग (v = √(2gh)), लोलक की गति और प्रत्यावर्ती धारा परिपथ।

कंप्यूटर और 3D ग्राफिक्स

गेम में दूरियों की गणना और √n जटिलता वाले एल्गोरिदम।

दैनिक माप

क्षेत्रफल से कमरे की भुजा निकालना: 64 वर्ग मीटर के कमरे की दीवार √64 = 8 मीटर होगी।

Real-world application: Calculating diagonal distances with the Pythagorean theorem — Real-world application: Finding diagonal distances and ensuring square corners using square roots (a² + b² = c²)

सामान्य प्रश्न

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

वर्गमूल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें?

ऊपर बॉक्स में संख्या लिखें और गणना करें पर क्लिक करें। दशमलव मान, सरलीकृत रूप और चरण तुरंत मिलेंगे।

«racine carrée» का क्या अर्थ है?

«racine carrée» वर्गमूल (Square Root) का फ्रांसीसी नाम है।

क्या यह ऋणात्मक संख्याओं का मान निकाल सकता है?

हाँ, यह काल्पनिक इकाई i के साथ सम्मिश्र संख्या के रूप में परिणाम देता है (उदा. √(-16) = 4i)।

वर्गमूल और घनमूल में क्या अंतर है?

वर्गमूल 2 बार गुणा होने वाली संख्या है (घात 2) और घनमूल 3 बार (घात 3)।

बिना कैलकुलेटर के वर्गमूल कैसे निकालें?

अभाज्य गुणनखंडन, भाग विधि या सन्निकटन विधि द्वारा।

पूर्ण वर्ग संख्या क्या है?

वह पूर्णांक जिसका वर्गमूल भी पूर्णांक हो (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100)।

क्या सभी वर्गमूल परिमेय संख्याएँ हैं?

नहीं, केवल पूर्ण वर्ग परिमेय होते हैं। शेष सभी अपरिमेय संख्याएँ हैं।

क्या यह कैलकुलेटर पूर्णतः मुफ्त है?

हाँ, यह 100% मुफ्त, असीमित और बिना किसी पंजीकरण के उपलब्ध है।

क्या भिन्नों का वर्गमूल निकाला जा सकता है?

हाँ, आप दशमलव और भिन्न संख्याएं दर्ज कर सकते हैं।

मुख्य वर्गमूल क्या है?

प्रतीक √ द्वारा दर्शाया जाने वाला धनात्मक (अऋणात्मक) मान मुख्य वर्गमूल कहलाता है।

द्वारा लिखित और सत्यापित Syed Muhammad Ahmed संस्थापक और निर्माता

निष्कर्ष

संक्षेप और मुख्य बिंदु

मूल सिद्धांत

वर्गमूल एक सरल प्रश्न का उत्तर देता है: कौन सी संख्या स्वयं से गुणा होकर यह मान बनाती है? त्वरित और विश्वसनीय परिणाम के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

✓ Definition: √x is the non-negative value y such that y² = x.

✓ Simplification: Factor out perfect square integers using √(a × b) = √a × √b.

✓ Complex Numbers: Negative numbers evaluate cleanly via the imaginary unit i (√(−a) = i√a).