N-te Wurzel Rechner
Berechnen Sie jede Wurzel — 4., 5. oder beliebiger Exponent
Der Wurzelexponent (n).
n
Die Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll.
x
N-te Wurzel Rechner
Berechnen Sie jede Wurzel für jeden Exponenten n mit exakter Wurzelvereinfachung und vollständigen Rechenschritten.
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Schnellberechnung: n-te Wurzel Klicken Sie auf ein Zahlenpaar für ein Sofortergebnis
Beliebiger Grad Exakt & Dezimal Schritt für Schritt 100% Kostenlos
Inhaltsverzeichnis 9 Abschnitte Anzeigen Ausblenden
Vollständiger Leitfaden
Was ist eine n-te Wurzel (Nth Root)?
Quadratwurzeln (Grad 2) und Kubikwurzeln (Grad 3) sind weit bekannt. Was aber, wenn die 4., 5. oder eine noch höhere Wurzel benötigt wird? Genau dafür ist dieser Rechner für n-te Wurzeln konzipiert.
Eine n-te Wurzel verallgemeinert das Wurzelziehen auf beliebige Exponenten. Sie beantwortet die Frage: Welche Zahl, n-mal mit sich selbst multipliziert, ergibt diesen Wert?
Interaktiver Anatomie-Explorer Klicken Sie auf ein Element für mathematische Details
⁴ √ 81 = 3
1. Wurzelexponent (Grad n)
Die kleine Zahl oben links am Wurzelzeichen. Bestimmt die Anzahl gleicher Faktoren. Ohne Angabe gilt 2 (Quadratwurzel).
2. Wurzelzeichen & Vinculum
Das mathematische Symbol (√). Der obere Querstrich (Vinculum) fasst die Terme unter der Wurzel zusammen.
3. Radikand (x)
Die Zahl unter dem Wurzelstrich. Bei geradem n muss der Radikand nichtnegativ sein (x ≥ 0) für reelle Lösungen.
4. Hauptwurzel (y)
Das nichtnegative reelle Ergebnis. Für ⁴√81 ist die Hauptwurzel 3, da 3⁴ = 81 ist.
Beispiel: Die 4. Wurzel aus 16 ist 2, da 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Alle Wurzelgrade folgen demselben Prinzip.
Formel
Die mathematische Definition der n-ten Wurzel
Die n-te Wurzel ist über die Umkehrung der Potenz definiert:
ⁿ√x = x^(1/n)
Wenn y = ⁿ√x, dann gilt yⁿ = x. Potenzieren mit n führt zurück zum Radikanden x.
ⁿ√(x^m) = (ⁿ√x)^m = x^(m/n)
n = 2
n = 2 → Quadratwurzel
√x (zweifache Multiplikation)
√64 = 64^(1/2) = 8
n = 3
n = 3 → Kubikwurzel
∛x (dreifache Multiplikation)
∛125 = 125^(1/3) = 5
n = 4
n = 4 → Vierte Wurzel
⁴√x (vierfache Multiplikation)
⁴√625 = 625^(1/4) = 5
n = 5
n = 5
⁵√x
⁵√1024 = 1024^(1/5) = 4
Gerade vs Ungerade
Gerader vs. ungerader Exponent: Negative Zahlen
Ob ein negativer Radikand eine reelle Wurzel besitzt, bestimmt die Parität des Exponenten:
Interaktiver Grad- & Vorzeichentester
Wählen Sie Wurzelgrad und Vorzeichen des Radikanden:
Wurzelgrad (n):
Radikand (x):
2 reelle Wurzeln (Hauptwurzel +)
⁴√81 = 3
Bei geradem Wurzelexponent und positivem Radikanden gibt es zwei reelle Wurzeln (±). Das Wurzelzeichen bezeichnet die positive Hauptwurzel. Bestätigt: 3⁴ = 81.
Mathematischer Hintergrund:
Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt immer ein positives Vorzeichen, eine ungerade Anzahl behält das Minuszeichen bei.
Anleitung
So bedienen Sie den Rechner für n-te Wurzeln
Wurzeln werden durch Ausklammern perfekter n-ter Potenzen vereinfacht:
Exakte Vereinfachung
Primfaktorzerlegung für Potenzen und Wurzeln
Wurzeln werden durch Ausklammern perfekter n-ter Potenzen vereinfacht:
Beispiel: Vereinfachen von ⁴√32
- 32 in eine perfekte 4. Potenz zerlegen: 32 = 16 × 2
- Da 16 = 2⁴, ziehen wir 2 vor die Wurzel: ⁴√32 = ⁴√(16 × 2) = 2⁴√2
- Das Ausziehen der maximalen n-ten Potenz liefert die vereinfachte Wurzel.
Tabellenkalkulation und digitale Tools
Eingabe mit gebrochenen Exponenten
Die n-te Wurzel ist über die Umkehrung der Potenz definiert:
1
Wurzelexponent eingeben (n)
Geben Sie die positive ganze Zahl n in das erste Feld ein (z. B. 4 für vierte Wurzel).
2
Radikand eingeben (x)
Tragen Sie die Zahl in das zweite Feld ein.
3
Auf Berechnen klicken
Erhalten Sie sofort den exakten Dezimalwert und die vereinfachte Wurzelform.
Numerischer Algorithmus
Iteratives Newton-Raphson-Verfahren
Prozessoren berechnen beliebige Wurzeln iterativ über die Rekursionsformel:
x_(k+1) = (1/n) · [ (n - 1)·x_k + A / (x_k^(n-1)) ]
Demonstration: Annäherung von ∛30 (n = 3, A = 30)
- Startwert wählen: Da 3³ = 27 ist, wählen wir x₀ = 3.
- Iteration 1: x₁ = (1/3) · [2(3) + 30/3²] = (1/3) · [6 + 3.3333] = 3.1111.
- Iteration 2: x₂ = (1/3) · [2(3.1111) + 30/(3.1111²)] = 3.1072.
- Prüfung: 3.1072³ = 29.999. In nur zwei Schritten erreicht das Verfahren 4 Nachkommastellen Genauigkeit.
Checking integer powers? Test for perfect square prime factor exponents →
Notation
Das n-te Wurzelsymbol: Was bedeutet ⁿ√?
Die n-te Wurzel nutzt das Wurzelzeichen (√) mit dem Wurzelexponenten n in der Kerbe:
ⁿ√x «die n-te Wurzel aus x»
n = Wurzelexponent Der Grad der Wurzel
x = Radikand Die Zahl unter der Wurzel
Steht kein Exponent da (√x), gilt n = 2. Als gebrochener Exponent geschrieben:
ⁿ√x = x^(1/n). Beide Notationen sind mathematisch vollkommen identisch.
Referenztabelle
Referenztabelle: n-te Wurzeln perfekter Potenzen
Häufige perfekte Potenzen und ihre ganzzahligen Wurzeln:
Scrollen, um die Tabelle zu durchsuchen ↓
| Wurzelgrad (n) | Radikand (x) | Mathematische Form | Hauptwurzel | Aktion |
|---|---|---|---|---|
| n = 2 | 16 | √16 = 16^(1/2) | 4 | |
| n = 2 | 49 | √49 = 49^(1/2) | 7 | |
| n = 2 | 144 | √144 = 144^(1/2) | 12 | |
| n = 3 | 27 | ∛27 = 27^(1/3) | 3 | |
| n = 3 | 64 | ∛64 = 64^(1/3) | 4 | |
| n = 3 | 125 | ∛125 = 125^(1/3) | 5 | |
| n = 3 | 1000 | ∛1000 = 1000^(1/3) | 10 | |
| n = 4 | 16 | ⁴√16 = 16^(1/4) | 2 | |
| n = 4 | 81 | ⁴√81 = 81^(1/4) | 3 | |
| n = 4 | 256 | ⁴√256 = 256^(1/4) | 4 | |
| n = 4 | 625 | ⁴√625 = 625^(1/4) | 5 | |
| n = 4 | 1296 | ⁴√1296 = 1296^(1/4) | 6 | |
| n = 5 | 32 | ⁵√32 = 32^(1/5) | 2 | |
| n = 5 | 243 | ⁵√243 = 243^(1/5) | 3 | |
| n = 5 | 1024 | ⁵√1024 = 1024^(1/5) | 4 | |
| n = 5 | 3125 | ⁵√3125 = 3125^(1/5) | 5 | |
| n = 6 | 64 | ⁶√64 = 64^(1/6) | 2 | |
| n = 6 | 729 | ⁶√729 = 729^(1/6) | 3 | |
| n = 6 | 4096 | ⁶√4096 = 4096^(1/6) | 4 | |
| n = 7 | 128 | ⁷√128 = 128^(1/7) | 2 | |
| n = 7 | 2187 | ⁷√2187 = 2187^(1/7) | 3 | |
| n = 8 | 256 | ⁸√256 = 256^(1/8) | 2 | |
| n = 8 | 6561 | ⁸√6561 = 6561^(1/8) | 3 | |
| n = 10 | 1024 | ¹⁰√1024 = 1024^(1/10) | 2 | |
| n = 10 | 59049 | ¹⁰√59049 = 59049^(1/10) | 3 |
Focusing specifically on degree 2 or 3? Use our dedicated step-by-step square root calculator or racine cubique calculator with negative number handling.
Anwendungen
Praktische Anwendungen der n-ten Wurzel
Höhere Wurzeln sind unverzichtbar in Wissenschaft und Praxis:
Finanzwesen & CAGR (Wachstumsrate)
Die jährliche Wachstumsrate nutzt n-te Wurzeln: CAGR = ⁿ√(Endwert/Startwert) − 1. Für 5 Jahre eine 5. Wurzel.
Statistik & Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel von n Datenpunkten lautet ⁿ√(x₁·x₂·...·xₙ), der Standard für Wachstumsraten.
Ingenieurwesen & Skalierung
Aerodynamik und Materialphysik erfordern n-te Wurzeln bei mehrdimensionalen Potenzabhängigkeiten.
Informatik & Kryptographie
Asymmetrische Verschlüsselungen wie RSA basieren auf der Komplexität modularer n-ter Wurzeln.
FAQ
Häufig gestellte Fragen zur n-ten Wurzel
Was ist der Unterschied zwischen Quadratwurzel und Kubikwurzel?
Eine Quadratwurzel sucht die Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt (Index 2). Eine Kubikwurzel sucht die Zahl, die 3-mal multipliziert x ergibt (Index 3).
Was bedeutet der Wurzelexponent (Index n)?
Der Index gibt den Grad der Wurzel an (die Zahl 'n' in ⁿ√x). Ein Index von 2 ist die Quadratwurzel, 3 die Kubikwurzel, 4 die vierte Wurzel usw.
Gibt es n-te Wurzeln aus negativen Zahlen?
Wenn n ungerade ist (3, 5, 7...), existiert eine reelle Lösung. Wenn n gerade ist (2, 4, 6...), gibt es keine reelle Lösung.
Ist dieser Rechner kostenlos?
Ja, alle Rechner auf dieser Website sind zu 100% kostenlos ohne Registrierung oder Installation nutzbar.
Kernaussage:
Die n-te Wurzel bestimmt jene Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert x ergibt. Ungerade Exponenten erlauben negative Zahlen in den reellen Zahlen, gerade erfordern positive Werte.
