Quadratwurzel
Berechnen Sie √x für jede positive Zahl
Enter any positive number to find its square root. Works with whole numbers, decimals, and large values.
√
Quadratwurzel Rechner
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Inhaltsverzeichnis 16 Abschnitte Anzeigen Ausblenden
Definition & Grundlagen
Was ist eine Quadratwurzel (Racine Carrée)?
«Racine carrée» ist die französische Bezeichnung für Quadratwurzel. Sie gehört zu den meistgesuchten mathematischen Begriffen weltweit, da Schüler, Studenten und Ingenieure häufig Wurzeln schnell berechnen müssen.
Die Quadratwurzel einer Zahl ist derjenige Wert, der mit sich selbst multipliziert die Ausgangszahl ergibt. Multipliziert man 7 mit 7, erhält man 49. Die Quadratwurzel aus 49 ist daher 7. Sie ist die Umkehroperation des Quadrierens.
Mathematisch ausgedrückt ist die Quadratwurzel einer Zahl x eine Zahl y, sodass y × y = x bzw. y² = x gilt.
Aufbau eines Wurzelausdrucks Click or hover over any part
√ 49 = 7
√
Wurzelzeichen (√)
Das mathematische Operationssymbol
49
Radikand (Zahl)
Die Zahl unter dem Wurzelzeichen (z. B. 49 in √49)
7
Wurzelwert (Ergebnis)
Das berechnete Ergebnis (z. B. 7)
√4 = 2 da 2 × 2 = 4
√9 = 3 da 3 × 3 = 9
√16 = 4 da 4 × 4 = 16
√25 = 5 da 5 × 5 = 25
√100 = 10 da 10 × 10 = 100
Anleitung
So bedienen Sie den Quadratwurzel Rechner
In drei einfachen Schritten zum Ergebnis:
1
Zahl eingeben
Geben Sie eine beliebige Zahl (Ganzzahl, Dezimalzahl, Bruch oder negativ) in das Feld oben ein.
2
Auf Berechnen klicken
Klicken Sie auf den Berechnen-Button für eine sofortige Auswertung.
3
Ergebnis ablesen
Der Rechner zeigt das Dezimalergebnis, die gekürzte Wurzel (z. B. √72 = 6√2) und den Lösungsweg an.
Keine Formeln nötig: Unser Online-Rechner erledigt die gesamte mathematische Arbeit für Sie.
Notation & Exponenten
Wurzelschreibweise: Das √ Symbol und x^(1/2)
Das Wurzelzeichen √ ist das Standardzeichen für Quadratwurzeln. √36 fragt: Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 36? Die Antwort lautet 6.
√ Wurzelzeichen (Radikal)
36 Radikand unter dem Zeichen
6 Hauptwert der Wurzel
Jeder Wurzelausdruck besteht aus dem Wurzelzeichen (√), dem Radikanden und dem Wurzelwert.
Wurzeln lassen sich auch als gebrochene Potenzen schreiben:
√x = y &Longleftrightarrow y² = x Standard mathematical radical sign
x^(1/2) = √x &Longleftrightarrow 49^(1/2) = 7 Fractional power notation used in advanced algebra
Math.sqrt(x) /* JavaScript */ | x ** 0.5 /* Python */ Syntax used in programming and scientific calculators
Beide Schreibweisen sind mathematisch identisch. Programmiersprachen und Taschenrechner nutzen x^(1/2) standardmäßig.
Grundformel
Was ist die Formel für die Quadratwurzel?
Es gibt keine direkte statische Formel wie beim Kreisumfang. Eine Quadratwurzel ist durch ihre Umkehrbeziehung definiert:
If y = √x, then y × y = x (or y² = x)
In einfachen Worten: Das gefundene Ergebnis muss, mit sich selbst multipliziert, exakt die Ausgangszahl ergeben.
Konvention der Hauptwurzel
Die Hauptwurzel ist per internationaler Konvention immer die nicht-negative Zahl. Obwohl sowohl 5 als auch -5 quadriert 25 ergeben, gilt stets √25 = 5.
Principal Root
√25 = +5 Dual Algebraic Solutions
x² = 25 ⇒ x = ±5 Wurzelgesetze
Die fünf wichtigsten Gesetze der Quadratwurzel
Mit diesen Rechenregeln vereinfachen Sie Wurzelterme in Algebra und Geometrie schnell und sicher:
1
1. Produktregel
√(a × b) = √a × √b (für a ≥ 0, b ≥ 0)
√(a × b) = √a × √b
Beispiel: √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6. Direkt: √36 = 6.
Ermöglicht das Zerlegen und teilweise Wurzelziehen (z. B. √72 = √(36 × 2) = 6√2).
2
2. Quotientenregel
√(a / b) = √a / √b (für a ≥ 0, b > 0)
√(a ÷ b) = √a ÷ √b
Beispiel: √(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2. Direkt: √4 = 2.
Zähler und Nenner eines Bruchs können getrennt radiziert werden.
3
3. Potenzregel
√(a²) = |a| (Betrag von a)
√(a²) = |a|
Beispiel: √(7²) = √49 = 7. Quadrieren und Wurzelziehen heben sich auf.
Das Quadrieren einer Zahl und anschließendes Wurzelziehen liefert den Betrag der Zahl.
4
4. Selbstmultiplikation
√a × √a = a
√a × √a = a
Beispiel: √13 × √13 = 13. √5 × √5 = 5.
Multipliziert man eine Wurzel mit sich selbst, fällt das Wurzelzeichen weg. Wichtig zum Rationalmachen von Nennern (1/√5 = √5/5).
5
5. Wurzel aus einer Wurzel
√(√a) = a^(1/4) (vierte Wurzel)
√(√a) = a^(1/4)
Beispiel: √(√16) = √4 = 2. Und 16^(1/4) = 2.
Das wiederholte Wurzelziehen entspricht der vierten Wurzel.
Rechenmethoden
Quadratwurzel berechnen: 4 Methoden
Je nach Situation stehen Ihnen vier Rechenwege zur Verfügung:
Methode 1: Mit diesem Online-Rechner (Am schnellsten)
Zahl oben eingeben und auf Berechnen drücken. Sie erhalten sofort Dezimalwert und gekürzte Wurzel.
Methode 2: Primfaktorzerlegung (Für Quadratzahlen)
Besonders effektiv für ganze Zahlen und Quadratzahlen.
Beispiele zur Primfaktorzerlegung
- 1. Zerlegen Sie die Zahl in Primfaktoren
- 2. Fassen Sie gleiche Faktoren zu Paaren zusammen
- 3. Ziehen Sie aus jedem Paar einen Faktor vor die Wurzel
- 4. Multiplizieren Sie die ausgeklammerten Faktoren
√144 → 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 → (2×2) × (2×2) × (3×3) → 2 × 2 × 3 = 12
√72 → 2 × 2 × 2 × 3 × 3 → 6 stays outside, 2 stays inside → 6√2 (≈8.485)
Methode 3: Schriftliches Wurzelziehen (Manuell exakt)
Systematischer Algorithmus ähnlich der schriftlichen Division für beliebige Nachkommastellen.
- 1. Ziffern vom Komma aus in Zweiergruppen einteilen
- 2. Größte Quadratzahl finden, die in die erste Gruppe passt
- 3. Rest bilden, nächste Gruppe herabholen und Wurzelwert verdoppeln
- 4. Nächste Ziffer durch Probieren ermitteln und wiederholen
Ermöglicht das händische Berechnen jeder Wurzel ohne technische Hilfsmittel.
Methode 4: Schätzmethode (Schnelles Kopfrechnen)
Für überschlägige Rechnungen im Kopf:
Beispiel: Abschätzen von √50
- 1. Benachbarte Quadratzahlen suchen: 49 < 50 < 64 (also 7 < √50 < 8)
- 2. Da 50 sehr nah an 49 liegt, ist √50 nur knapp über 7
- 3. Schätzwert: ca. 7,07 (exakt: 7,0711...)
Grundlage des babylonischen Wurzelziehens (Heron-Verfahren / Newton-Verfahren).
Quadratzahlen
Quadratzahlen: Definition und Bedeutung
Eine Quadratzahl entsteht durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst. Ihre Wurzel ist stets eine ganze Zahl.
| Zahl (n) | Quadratzahl (n²) | Quadratwurzel (√n²) | Zahl (n) | Quadratzahl (n²) | Quadratwurzel (√n²) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | √1 = 1 | 11 | 121 | √121 = 11 |
| 2 | 4 | √4 = 2 | 12 | 144 | √144 = 12 |
| 3 | 9 | √9 = 3 | 13 | 169 | √169 = 13 |
| 4 | 16 | √16 = 4 | 14 | 196 | √196 = 14 |
| 5 | 25 | √25 = 5 | 15 | 225 | √225 = 15 |
| 6 | 36 | √36 = 6 | 16 | 256 | √256 = 16 |
| 7 | 49 | √49 = 7 | 17 | 289 | √289 = 17 |
| 8 | 64 | √64 = 8 | 18 | 324 | √324 = 18 |
| 9 | 81 | √81 = 9 | 19 | 361 | √361 = 19 |
| 10 | 100 | √100 = 10 | 20 | 400 | √400 = 20 |
Das Auswendiglernen der ersten 20 Quadratzahlen erleichtert das mathematische Verständnis enorm. Want to test any specific number? Check if any number is a perfect square using our checker →
Irrationale Wurzeln
Nicht-Quadratzahlen und irrationale Zahlen
Ist eine Zahl keine Quadratzahl, ist ihre Wurzel irrational: Ihre Dezimaldarstellung bricht nie ab und ist nicht periodisch.
√2
1.41421356...
Non-repeating & infinite
√3
1.73205080...
Non-repeating & infinite
√5
2.23606797...
Non-repeating & infinite
√7
2.64575131...
Non-repeating & infinite
√10
3.16227766...
Non-repeating & infinite
Diese reellen Zahlen lassen sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen (vergleichbar mit π).
Unser Rechner liefert Ihnen sowohl präzise Dezimalwerte als auch die exakte gekürzte Wurzel.
Dezimalzahlen & Brüche
Wurzeln aus Dezimalzahlen und Brüchen
Quadratwurzeln können problemlos aus Kommazahlen und Brüchen gezogen werden:
Wurzeln aus Dezimalzahlen
Dezimalbrüche werden unter Berücksichtigung der Kommastellen berechnet:
- √0.25 = 0.5 (0.5 × 0.5 = 0.25)
- √0.49 = 0.7 (0.7 × 0.7 = 0.49)
- √2.25 = 1.5 (1.5 × 1.5 = 2.25)
Wurzeln aus Brüchen
Wenden Sie die Quotientenregel an, um Zähler und Nenner getrennt zu berechnen:
- √(1/4) = √1 / √4 = 1/2
- √(9/16) = √9 / √16 = 3/4
- √(25/49) = √25 / √49 = 5/7
Geben Sie jeden Bruch oder Dezimalwert oben ein, um Ihre Hausaufgaben zu prüfen.
Komplexe Zahlen
Wurzeln aus negativen Zahlen und die imaginäre Einheit i
Im Bereich der reellen Zahlen gibt es keine Wurzeln aus negativen Zahlen, da das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist.
In der höheren Mathematik wird daher die imaginäre Einheit i mit i² = -1 eingeführt. Es gilt: √(-a) = √a × i für a > 0.
i = √(−1) &Longleftrightarrow i² = −1 &Longleftrightarrow √(−a) = √a × i
Beispiele mit negativen Zahlen
√(-1) → i
√(-4) → 2i
√(-9) → 3i
√(-16) → 4i
√(-81) → 9i
Diese komplexen Zahlen (a + bi) sind unverzichtbar in Elektrotechnik, Quantenphysik und Signalverarbeitung.
Unser Rechner erkennt negative Eingaben automatisch und gibt das imaginäre Ergebnis aus. Need real roots for negative numbers? Calculate cube roots of negative numbers with real solutions →
Umkehroperationen
Unterschied zwischen Quadrieren und Wurzelziehen
Quadrieren und Wurzelziehen sind zueinander inverse Rechenoperationen, wie Addition und Subtraktion.
8 Number
Squaring (8²) →
← Square Root (√64)
64 Square (n²)
| Operation | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Quadrieren (x²) | Zahl mit sich selbst multiplizieren | 8² = 64 |
| Wurzelziehen (√x) | Zahl finden, die quadriert x ergibt | √64 = 8 |
Die Operationen heben sich gegenseitig auf: √(8²) = √64 = 8, und (√64)² = 8² = 64.
Da beim Quadrieren Vorzeichen verloren gehen, gilt stets die Hauptwurzel: √(a²) = |a|.
Wurzeltabellen
Komplette Wurzeltabelle von 1 bis 50
Übersichtstabelle von 1 bis 50 mit Dezimalwerten, vereinfachter Wurzelschreibweise und Kennzeichnung von Quadratzahlen.
Benötigen Sie eine druckbare Tabelle bis 100? Nutzen Sie unseren Tabellen-Generator.
Scrollen Sie nach unten für alle 50 Werte ↓
| Zahl (n) | Dezimal (√n) | Vereinfachte Wurzel | Typ |
|---|---|---|---|
| 1 * | 1.0000 | 1 | Quadratzahl |
| 2 | 1.4142 | √2 | Irrational |
| 3 | 1.7321 | √3 | Irrational |
| 4 * | 2.0000 | 2 | Quadratzahl |
| 5 | 2.2361 | √5 | Irrational |
| 6 | 2.4495 | √6 | Irrational |
| 7 | 2.6458 | √7 | Irrational |
| 8 | 2.8284 | 2√2 | Irrational |
| 9 * | 3.0000 | 3 | Quadratzahl |
| 10 | 3.1623 | √10 | Irrational |
| 11 | 3.3166 | √11 | Irrational |
| 12 | 3.4641 | 2√3 | Irrational |
| 13 | 3.6056 | √13 | Irrational |
| 14 | 3.7417 | √14 | Irrational |
| 15 | 3.8730 | √15 | Irrational |
| 16 * | 4.0000 | 4 | Quadratzahl |
| 17 | 4.1231 | √17 | Irrational |
| 18 | 4.2426 | 3√2 | Irrational |
| 19 | 4.3589 | √19 | Irrational |
| 20 | 4.4721 | 2√5 | Irrational |
| 21 | 4.5826 | √21 | Irrational |
| 22 | 4.6904 | √22 | Irrational |
| 23 | 4.7958 | √23 | Irrational |
| 24 | 4.8990 | 2√6 | Irrational |
| 25 * | 5.0000 | 5 | Quadratzahl |
| 26 | 5.0990 | √26 | Irrational |
| 27 | 5.1962 | 3√3 | Irrational |
| 28 | 5.2915 | 2√7 | Irrational |
| 29 | 5.3852 | √29 | Irrational |
| 30 | 5.4772 | √30 | Irrational |
| 31 | 5.5678 | √31 | Irrational |
| 32 | 5.6569 | 4√2 | Irrational |
| 33 | 5.7446 | √33 | Irrational |
| 34 | 5.8310 | √34 | Irrational |
| 35 | 5.9161 | √35 | Irrational |
| 36 * | 6.0000 | 6 | Quadratzahl |
| 37 | 6.0828 | √37 | Irrational |
| 38 | 6.1644 | √38 | Irrational |
| 39 | 6.2450 | √39 | Irrational |
| 40 | 6.3246 | 2√10 | Irrational |
| 41 | 6.4031 | √41 | Irrational |
| 42 | 6.4807 | √42 | Irrational |
| 43 | 6.5574 | √43 | Irrational |
| 44 | 6.6332 | 2√11 | Irrational |
| 45 | 6.7082 | 3√5 | Irrational |
| 46 | 6.7823 | √46 | Irrational |
| 47 | 6.8557 | √47 | Irrational |
| 48 | 6.9282 | 4√3 | Irrational |
| 49 * | 7.0000 | 7 | Quadratzahl |
| 50 | 7.0711 | 5√2 | Irrational |
Wurzeln Vereinfachen
Beispiele zum teilweisen Wurzelziehen
Das teilweise Wurzelziehen zerlegt den Radikanden in Quadratzahlen und zieht diese vor die Wurzel:
| Ausgangswurzel | Vereinfachte Form | Zerlegung & Erklärung | Test |
|---|---|---|---|
| √8 | √(4 × 2) → 2√2 | 8 = 4 × 2, √4 = 2 | |
| √12 | √(4 × 3) → 2√3 | 12 = 4 × 3, √4 = 2 | |
| √18 | √(9 × 2) → 3√2 | 18 = 9 × 2, √9 = 3 | |
| √20 | √(4 × 5) → 2√5 | 20 = 4 × 5, √4 = 2 | |
| √32 | √(16 × 2) → 4√2 | 32 = 16 × 2, √16 = 4 | |
| √45 | √(9 × 5) → 3√5 | 45 = 9 × 5, √9 = 3 | |
| √50 | √(25 × 2) → 5√2 | 50 = 25 × 2, √25 = 5 | |
| √72 | √(36 × 2) → 6√2 | 72 = 36 × 2, √36 = 6 | |
| √75 | √(25 × 3) → 5√3 | 75 = 25 × 3, √25 = 5 | |
| √98 | √(49 × 2) → 7√2 | 98 = 49 × 2, √49 = 7 | |
| √200 | √(100 × 2) → 10√2 | 200 = 100 × 2, √100 = 10 |
Die Produktregel ermöglicht das Ausklammern quadratischer Faktoren.
Praxisanwendungen
Praktische Anwendungen der Quadratwurzel
Quadratwurzeln kommen in vielen Bereichen des täglichen Lebens und der Technik vor:
Bauwesen und Architektur
Der Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) nutzt Quadratwurzeln zur Längen- und Diagonalenberechnung (z. B. √(3² + 4²) = 5 m).
Finanzmathematik
Die Standardabweichung als Maß für Anlagerisiko und Volatilität ist die Quadratwurzel aus der Varianz.
Physik und Ingenieurwesen
Fallgeschwindigkeit (v = √(2gh)), Pendelschwingungen und Wechselstromwiderstände nutzen Wurzelterme.
Informatik & 3D-Grafik
Abstandsberechnungen zwischen Punkten, Vektornormen und Algorithmenlaufzeiten.
Alltagsmessungen
Berechnung der Seitenlänge aus einer Grundfläche: Ein 64 m² großer Raum hat Seiten von √64 = 8 m.
FAQ
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wie bediene ich den Quadratwurzel Rechner?
Zahl in das Feld eingeben und auf Berechnen klicken. Sie erhalten sofort das exakte Dezimalergebnis, die vereinfachte Wurzel und die Rechenschritte.
Was bedeutet «racine carrée»?
«Racine carrée» ist französisch für Quadratwurzel. Es bezeichnet die Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Ausgangswert ergibt.
Kann der Rechner negative Zahlen berechnen?
Ja. Bei negativen Zahlen gibt der Rechner das Ergebnis mit der imaginären Einheit i aus (z. B. √(-16) = 4i).
Was ist der Unterschied zwischen Quadrat- und Kubikwurzel?
Die Quadratwurzel sucht die Zahl, die 2-mal mit sich selbst multipliziert wird (Index 2). Die Kubikwurzel multipliziert 3-mal (Index 3).
Wie berechnet man eine Quadratwurzel ohne Rechner?
Über Primfaktorzerlegung bei Quadratzahlen, das schriftliche Wurzelziehen oder die Schätzmethode (Heron-Verfahren).
Was ist eine Quadratzahl?
Eine ganze Zahl, deren Quadratwurzel wieder eine ganze Zahl ist (z. B. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100).
Sind alle Wurzeln rationale Zahlen?
Nein. Nur Wurzeln aus Quadratzahlen sind rational. Wurzeln aus anderen Zahlen sind irrational mit unendlich vielen Nachkommastellen.
Ist dieser Rechner kostenlos?
Ja, der Rechner ist 100% kostenlos, ohne Werbung und ohne Anmeldung nutzbar.
Kann ich Wurzeln aus Kommazahlen und Brüchen berechnen?
Ja, Kommazahlen und Brüche werden mathematisch exakt berechnet.
Was ist die Hauptwurzel?
Die Hauptwurzel ist per Konvention stets das nicht-negative Ergebnis einer Wurzeloperation.
Zusammenfassung
Wichtigste Erkenntnisse im Überblick
Kernprinzip
Die Quadratwurzel beantwortet eine fundamentale Frage: Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert diesen Wert? Nutzen Sie unseren kostenlosen Rechner für schnelle und verlässliche Ergebnisse.
Definition: √x is the non-negative value y such that y² = x.
Simplification: Factor out perfect square integers using √(a × b) = √a × √b.
Complex Numbers: Negative numbers evaluate cleanly via the imaginary unit i (√(−a) = i√a).