Калькулятор Корня n-й Степени
Вычислить корень любой степени — 4, 5 или n
Показатель степени корня (n).
n
Число, из которого извлекается корень.
x
Корень n-й Степени Калькулятор
Вычисляйте корни любой степени n из любых чисел с автоматическим упрощением и подробным разбором решения.
Мгновенный Шаг за шагом 100% бесплатно
Быстрый расчет: корень n-й степени Нажмите на пару чисел для мгновенного расчета
Любая степень Точно и в десятичных Пошагово 100% Бесплатно
Содержание 9 Разделов Показать Скрыть
Полное руководство
Что такое корень n-й степени (Nth Root)?
Квадратный корень (степень 2) и кубический корень (степень 3) хорошо известны. Но как найти корень 4-й, 5-й или более высокой степени? Именно для этого предназначен наш калькулятор корня n-й степени.
Корень n-й степени обобщает извлечение корня на любое число перемножений: какое число при умножении само на себя n раз дает исходное значение?
Интерактивный анатомический разбор Нажмите на элемент для просмотра математического описания
⁴ √ 81 = 3
1. Показатель корня (Степень n)
Число в верхнем левом углу радикала. Определяет число одинаковых сомножителей. Если опущено, равно 2 (квадратный корень).
2. Знак корня и винкулум
Математический символ (√). Верхняя горизонтальная черта (винкулум) объединяет подкоренное выражение.
3. Подкоренное число (x)
Число под знаком корня. При четном n должно быть неотрицательным (x ≥ 0) для действительного ответа.
4. Главный корень (y)
Неотрицательный вещественный результат. Для ⁴√81 главный корень равен 3, так как 3⁴ = 81.
Пример: Корень 4-й степени из 16 равен 2, так как 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
Формула
Формула и определение корня n-й степени
Корень n-й степени определяется как обратная функция к возведению в n-ю степень:
ⁿ√x = x^(1/n)
Если y = ⁿ√x, то yⁿ = x. Возведение корня y в степень n возвращает исходное число x.
ⁿ√(x^m) = (ⁿ√x)^m = x^(m/n)
n = 2
n = 2 → Квадратный корень
√x (два сомножителя)
√64 = 64^(1/2) = 8
n = 3
n = 3 → Кубический корень
∛x (три сомножителя)
∛125 = 125^(1/3) = 5
n = 4
n = 4 → Корень 4-й степени
⁴√x (четыре сомножителя)
⁴√625 = 625^(1/4) = 5
n = 5
n = 5
⁵√x
⁵√1024 = 1024^(1/5) = 4
Четные и нечетные
Четный и нечетный показатель: отрицательные числа
Существование действительного корня зависит от четности показателя n:
Интерактивный симулятор степени и знака
Выберите показатель корня и знак подкоренного числа:
Степень корня (n):
Подкоренное число (x):
2 вещественных корня (главный корень +)
⁴√81 = 3
Если показатель четный, а подкоренное число положительное, существуют два вещественных корня (±). Знак радикала обозначает положительный главный корень. Проверка: 3⁴ = 81.
Почему так происходит:
Четное число отрицательных множителей дает положительный знак, а нечетное сохраняет минус.
Инструкция
Как пользоваться калькулятором корня n-й степени
Упрощение корней выполняется вынесением точных n-х степеней из-под знака радикала:
Точное упрощение
Разложение на простые множители
Упрощение корней выполняется вынесением точных n-х степеней из-под знака радикала:
Пример: упростить ⁴√32
- Разложите 32 на множители с точной 4-й степенью: 32 = 16 × 2
- Так как 16 = 2⁴, выносим 2: ⁴√32 = ⁴√(16 × 2) = 2⁴√2
- Вынесение максимальной точной n-й степени приводит корень к простейшему виду.
Таблицы и цифровые инструменты
Вычисление через дробные степени
Корень n-й степени определяется как обратная функция к возведению в n-ю степень:
1
Введите показатель (n)
Укажите целое положительное число n в первом поле (напр. 4 для корня 4-й степени).
2
Введите число (x)
Укажите подкоренное число во втором поле.
3
Нажмите «Рассчитать»
Мгновенно получите точный десятичный результат и упрощенный радикал.
Численный алгоритм
Итерационный метод Ньютона-Рафсона
Процессоры вычисляют произвольные корни итеративно по рекуррентной формуле:
x_(k+1) = (1/n) · [ (n - 1)·x_k + A / (x_k^(n-1)) ]
Пример: Приближение ∛30 (n = 3, A = 30)
- Начальное приближение: Так как 3³ = 27, берем x₀ = 3.
- Итерация 1: x₁ = (1/3) · [2(3) + 30/3²] = (1/3) · [6 + 3.3333] = 3.1111.
- Итерация 2: x₂ = (1/3) · [2(3.1111) + 30/(3.1111²)] = 3.1072.
- Проверка: 3.1072³ = 29.999. За две итерации достигается точность до 4 знаков.
Checking integer powers? Test for perfect square prime factor exponents →
Обозначение
Знак корня n-й степени: Что означает ⁿ√?
Знак корня n-й степени использует символ радикала (√) с показателем степени n:
ⁿ√x «корень n-й степени из x»
n = показатель корня Степень извлекаемого корня
x = подкоренное число Число под знаком корня
Если показатель не указан (√x), подразумевается n = 2. В виде дробной степени:
ⁿ√x = x^(1/n). Обе записи выражают одну и ту же математическую операцию.
Справочник
Справочная таблица: корни точных степеней
Основные точные степени и их целочисленные корни:
Прокрутите для просмотра таблицы ↓
| Степень (n) | Число (x) | Математическая форма | Главный корень | Действие |
|---|---|---|---|---|
| n = 2 | 16 | √16 = 16^(1/2) | 4 | |
| n = 2 | 49 | √49 = 49^(1/2) | 7 | |
| n = 2 | 144 | √144 = 144^(1/2) | 12 | |
| n = 3 | 27 | ∛27 = 27^(1/3) | 3 | |
| n = 3 | 64 | ∛64 = 64^(1/3) | 4 | |
| n = 3 | 125 | ∛125 = 125^(1/3) | 5 | |
| n = 3 | 1000 | ∛1000 = 1000^(1/3) | 10 | |
| n = 4 | 16 | ⁴√16 = 16^(1/4) | 2 | |
| n = 4 | 81 | ⁴√81 = 81^(1/4) | 3 | |
| n = 4 | 256 | ⁴√256 = 256^(1/4) | 4 | |
| n = 4 | 625 | ⁴√625 = 625^(1/4) | 5 | |
| n = 4 | 1296 | ⁴√1296 = 1296^(1/4) | 6 | |
| n = 5 | 32 | ⁵√32 = 32^(1/5) | 2 | |
| n = 5 | 243 | ⁵√243 = 243^(1/5) | 3 | |
| n = 5 | 1024 | ⁵√1024 = 1024^(1/5) | 4 | |
| n = 5 | 3125 | ⁵√3125 = 3125^(1/5) | 5 | |
| n = 6 | 64 | ⁶√64 = 64^(1/6) | 2 | |
| n = 6 | 729 | ⁶√729 = 729^(1/6) | 3 | |
| n = 6 | 4096 | ⁶√4096 = 4096^(1/6) | 4 | |
| n = 7 | 128 | ⁷√128 = 128^(1/7) | 2 | |
| n = 7 | 2187 | ⁷√2187 = 2187^(1/7) | 3 | |
| n = 8 | 256 | ⁸√256 = 256^(1/8) | 2 | |
| n = 8 | 6561 | ⁸√6561 = 6561^(1/8) | 3 | |
| n = 10 | 1024 | ¹⁰√1024 = 1024^(1/10) | 2 | |
| n = 10 | 59049 | ¹⁰√59049 = 59049^(1/10) | 3 |
Focusing specifically on degree 2 or 3? Use our dedicated step-by-step square root calculator or racine cubique calculator with negative number handling.
Применение
Практическое применение корней n-й степени
Корни высших степеней широко используются в науке и инженерии:
Финансы и среднегодовой темп роста (CAGR)
CAGR рассчитывается через корень n-й степени: CAGR = ⁿ√(Конец/Начало) − 1. Для 5 лет используется корень 5-й степени.
Статистика и среднее геометрическое
Среднее геометрическое n значений равно ⁿ√(x₁·x₂·...·xₙ), стандарт для темпов роста.
Инженерия и физика
Аэродинамика и физика твердого тела используют корни n-й степени в законах степенных зависимостей.
Информатика и криптография
Асимметричное шифрование (напр. RSA) опирается на сложность вычисления модульных корней n-й степени.
FAQ
Часто задаваемые вопросы о корне n-й степени
В чем разница между квадратным и кубическим корнем?
Квадратный корень имеет степень 2, а кубический — степень 3. В отличие от квадратных корней, кубический корень из отрицательного числа является действительным числом.
Что означает показатель (индекс) корня n?
Индекс n указывает на степень корня в ⁿ√x (2 — квадратный корень, 3 — кубический, 4 — корень 4-й степени и т.д.).
Можно ли извлечь корень n-й степени из отрицательного числа?
Если показатель степени n нечетный (3, 5, 7...), существует действительное решение. Если n четный (2, 4, 6...), действительного решения нет.
Этот калькулятор бесплатный?
Да, наши калькуляторы на 100% бесплатны, без регистрации и ограничений на количество вычислений.
Главное правило:
Корень n-й степени находит число, которое при возведении в степень n дает x. Нечетные степени допускают отрицательные числа; четные требуют положительных значений.
