корен квадратен
Изчислете √x за всяко положително число
Enter any positive number to find its square root. Works with whole numbers, decimals, and large values.
√
Квадратен Корен Калкулатор
Изчислете квадратен корен (racine carrée) от всяко число незабавно с точни десетични знаци, опростен вид и стъпки за решение. 100% безплатно и без ограничения.
Моментално Стъпка по стъпка Частно 100% безплатно
Научете всичко по-долу Бързо изчисление Кликнете върху число за незабавен резултат
Точни десетични знаци Опростен вид на радикала Подробни стъпки 100% Безплатно и неограничено
Съдържание 16 Раздела Показване Скриване
Определение и същност
Какво представлява квадратният корен (Racine Carrée)?
«Racine carrée» е френският термин за квадратен корен. Това е една от най-търсените математически концепции от ученици и инженери по целия свят.
Квадратен корен от дадено число е стойността, която, умножена сама по себе си, дава първоначалното число. Ако умножите 7 по 7, получавате 49. Следователно квадратният корен от 49 е 7. Това е обратната операция на повдигането на квадрат.
Математически квадратният корен от x е число y такова, че y × y = x (или y² = x).
Анатомия на коренния израз Click or hover over any part
√ 49 = 7
√
Знак за корен (√)
Математическият символ за коренуване
49
Подкоренна величина (Число)
Числото под знака за корен (напр. 49 в √49)
7
Корен (Резултат)
Изчисленият отговор (напр. 7)
√4 = 2 защото 2 × 2 = 4
√9 = 3 защото 3 × 3 = 9
√16 = 4 защото 4 × 4 = 16
√25 = 5 защото 5 × 5 = 25
√100 = 10 защото 10 × 10 = 100
Инструкции
Как да използвате калкулатора за корени
Получете резултата си в три лесни стъпки:
1
Въведете числото
Напишете произволно число (цяло, десетично, дроб или отрицателно) в полето по-горе.
2
Натиснете «Изчисли»
Кликнете бутона за мигновена обработка.
3
Вижте резултата
Калкулаторът показва точната десетична стойност, опростения радикал (напр. √72 = 6√2) и стъпките.
Не е необходимо да помните сложни формули: инструментът извършва всичко автоматично.
Символи и степени
Обозначение на корена: Символът √ и x^(1/2)
Символът √ е стандартният знак за коренуване. Записът √36 пита: кое число, умножено само по себе си, дава 36? Отговорът е 6.
√ Знак за корен
36 Подкоренно число
6 Аритметичен корен
Коренният израз се състои от символ за корен, подкоренна величина и стойност на корена.
Квадратният корен може да бъде записан и като дробна степен:
√x = y &Longleftrightarrow y² = x Standard mathematical radical sign
x^(1/2) = √x &Longleftrightarrow 49^(1/2) = 7 Fractional power notation used in advanced algebra
Math.sqrt(x) /* JavaScript */ | x ** 0.5 /* Python */ Syntax used in programming and scientific calculators
Двата записа са напълно еквивалентни. Програмните езици използват x^(1/2).
Основна формула
Каква е формулата за квадратен корен?
Квадратният корен се определя чрез следната реципрочна връзка:
If y = √x, then y × y = x (or y² = x)
Намереното число, умножено само по себе си, задължително трябва да върне началното число.
Аритметичен корен
Аритметичният корен по международна конвенция винаги е неотрицателно число. Макар че и 5, и -5 на квадрат са 25, по правило √25 = 5.
Principal Root
√25 = +5 Dual Algebraic Solutions
x² = 25 ⇒ x = ±5 Свойства на корените
Пет основни свойства на квадратния корен
Тези правила улесняват опростяването на алгебрични изрази:
1
1. Корен от произведение
√(a × b) = √a × √b (за a ≥ 0, b ≥ 0)
√(a × b) = √a × √b
Пример: √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6. Директно: √36 = 6.
Позволява изнасяне на множители пред корена (напр. √72 = 6√2).
2
2. Корен от частно
√(a / b) = √a / √b (за a ≥ 0, b > 0)
√(a ÷ b) = √a ÷ √b
Пример: √(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2. Директно: √4 = 2.
Позволява коренуване на числителя и знаменателя поотделно.
3
3. Корен от степен
√(a²) = |a| (абсолютна стойност на a)
√(a²) = |a|
Пример: √(7²) = √49 = 7. Степента и коренът се съкращават.
Връща абсолютната положителна стойност на числото.
4
4. Самоумножение
√a × √a = a
√a × √a = a
Пример: √13 × √13 = 13. √5 × √5 = 5.
Умножаването на корен по себе си премахва радикала (рационализиране: 1/√5 = √5/5).
5
5. Корен от корен
√(√a) = a^(1/4) (четвърти корен)
√(√a) = a^(1/4)
Пример: √(√16) = √4 = 2. И 16^(1/4) = 2.
Дава четвърти корен от подкоренното число.
Методи за изчисление
Как се изчислява квадратен корен: 4 метода
Има четири основни начина за намиране на квадратен корен:
Метод 1: Чрез този онлайн калкулатор (Най-бърз)
Въведете числото по-горе и кликнете «Изчисли» за незабавен отговор.
Метод 2: Разлагане на прости множители
Отличен метод за цели числа и точни квадрати.
Примери за разлагане
- 1. Разложете числото на прости множители
- 2. Групирайте еднаквите множители по двойки
- 3. Изнесете по един множител от всяка двойка пред корена
- 4. Умножете изнесените множители
√144 → 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 → (2×2) × (2×2) × (3×3) → 2 × 2 × 3 = 12
√72 → 2 × 2 × 2 × 3 × 3 → 6 stays outside, 2 stays inside → 6√2 (≈8.485)
Метод 3: Писмен метод (Ръчно деление)
Традиционен алгоритъм за ръчно намиране на корен с всякаква точност.
- 1. Разделете цифрите на групи по две от запетаята
- 2. Намерете най-големия квадрат, побиращ се в първата група
- 3. Извадете, свалете следващата двойка и удвоете получения корен
- 4. Намерете следващата цифра и повторете
Класически ръчен метод без калкулатор.
Метод 4: Приблизителна оценка наум
За бърза приблизителна преценка наум:
Пример: Оценка на √50
- 1. Намерете съседните точни квадрати: 49 < 50 < 64 (значи 7 < √50 < 8)
- 2. Тъй като 50 е много близо до 49, резултатът е малко над 7
- 3. Приблизителна стойност: около 7.07 (точно: 7.0711...)
Основа на вавилонския метод (метод на Нютон).
Точни квадрати
Точни квадрати: същност и значение
Точен квадрат е цяло число, чийто квадратен корен е точно цяло число.
| Число (n) | Точен квадрат (n²) | Корен (√n²) | Число (n) | Точен квадрат (n²) | Корен (√n²) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | √1 = 1 | 11 | 121 | √121 = 11 |
| 2 | 4 | √4 = 2 | 12 | 144 | √144 = 12 |
| 3 | 9 | √9 = 3 | 13 | 169 | √169 = 13 |
| 4 | 16 | √16 = 4 | 14 | 196 | √196 = 14 |
| 5 | 25 | √25 = 5 | 15 | 225 | √225 = 15 |
| 6 | 36 | √36 = 6 | 16 | 256 | √256 = 16 |
| 7 | 49 | √49 = 7 | 17 | 289 | √289 = 17 |
| 8 | 64 | √64 = 8 | 18 | 324 | √324 = 18 |
| 9 | 81 | √81 = 9 | 19 | 361 | √361 = 19 |
| 10 | 100 | √100 = 10 | 20 | 400 | √400 = 20 |
Запомнянето на първите 20 точни квадрата ускорява смятането наум. Want to test any specific number? Check if any number is a perfect square using our checker →
Ирационални числа
Неточни квадрати и ирационални корени
Ако едно число не е точен квадрат, неговият корен е ирационално число с безкрайна непериодична дроб.
√2
1.41421356...
Non-repeating & infinite
√3
1.73205080...
Non-repeating & infinite
√5
2.23606797...
Non-repeating & infinite
√7
2.64575131...
Non-repeating & infinite
√10
3.16227766...
Non-repeating & infinite
Тези числа не могат да се представят като обикновена дроб (както числото π).
Калкулаторът дава както точната десетична стойност, така и опростения корен.
Дроби и десетични
Квадратни корени от десетични и обикновени дроби
Коренуването се прилага нормално за десетични дроби и обикновени дроби:
Корени от десетични дроби
Изчисляват се съобразно позициите след запетаята:
- √0.25 = 0.5 (0.5 × 0.5 = 0.25)
- √0.49 = 0.7 (0.7 × 0.7 = 0.49)
- √2.25 = 1.5 (1.5 × 1.5 = 2.25)
Корени от обикновени дроби
По правилото за частно коренувайте числителя и знаменателя поотделно:
- √(1/4) = √1 / √4 = 1/2
- √(9/16) = √9 / √16 = 3/4
- √(25/49) = √25 / √49 = 5/7
Въведете дроб в калкулатора горе за проверка.
Комплексни числа
Корени от отрицателни числа и имагинерната единица i
При реалните числа отрицателните нямат квадратен корен, защото квадратът на всяко реално число е положителен.
Затова математиката дефинира имагинерната единица i (където i² = -1). Формула: √(-a) = √a × i за a > 0.
i = √(−1) &Longleftrightarrow i² = −1 &Longleftrightarrow √(−a) = √a × i
Примери с отрицателни числа
√(-1) → i
√(-4) → 2i
√(-9) → 3i
√(-16) → 4i
√(-81) → 9i
Те образуват комплексните числа (a + bi), необходими в електротехниката и квантовата механика.
Калкулаторът разпознава отрицателните числа и показва имагинерния резултат. Need real roots for negative numbers? Calculate cube roots of negative numbers with real solutions →
Обратни операции
Разлика между степенуване на квадрат и коренуване
Повдигането на квадрат и намирането на корен са реципрочни операции.
8 Number
Squaring (8²) →
← Square Root (√64)
64 Square (n²)
| Операция | Действие | Пример |
|---|---|---|
| Квадрат (x²) | Умножава числото по себе си | 8² = 64 |
| Квадратен корен (√x) | Намира кое число на квадрат дава x | √64 = 8 |
Операциите се анулират: √(8²) = √64 = 8, и (√64)² = 8² = 64.
Понеже квадратът премахва минусите, е в сила: √(a²) = |a|.
Справочни таблици
Пълна таблица на квадратните корени от 1 до 50
Справочна таблица от 1 до 50 с десетични стойности, опростени корени и отбелязани точни квадрати.
Нуждаете се от таблица до 100 за принтиране? Вижте нашия Генератор на Таблици.
Превъртете надолу за всички 50 стойности ↓
| Число (n) | Десетичен (√n) | Опростен корен | Тип |
|---|---|---|---|
| 1 * | 1.0000 | 1 | Точен квадрат |
| 2 | 1.4142 | √2 | Ирационален |
| 3 | 1.7321 | √3 | Ирационален |
| 4 * | 2.0000 | 2 | Точен квадрат |
| 5 | 2.2361 | √5 | Ирационален |
| 6 | 2.4495 | √6 | Ирационален |
| 7 | 2.6458 | √7 | Ирационален |
| 8 | 2.8284 | 2√2 | Ирационален |
| 9 * | 3.0000 | 3 | Точен квадрат |
| 10 | 3.1623 | √10 | Ирационален |
| 11 | 3.3166 | √11 | Ирационален |
| 12 | 3.4641 | 2√3 | Ирационален |
| 13 | 3.6056 | √13 | Ирационален |
| 14 | 3.7417 | √14 | Ирационален |
| 15 | 3.8730 | √15 | Ирационален |
| 16 * | 4.0000 | 4 | Точен квадрат |
| 17 | 4.1231 | √17 | Ирационален |
| 18 | 4.2426 | 3√2 | Ирационален |
| 19 | 4.3589 | √19 | Ирационален |
| 20 | 4.4721 | 2√5 | Ирационален |
| 21 | 4.5826 | √21 | Ирационален |
| 22 | 4.6904 | √22 | Ирационален |
| 23 | 4.7958 | √23 | Ирационален |
| 24 | 4.8990 | 2√6 | Ирационален |
| 25 * | 5.0000 | 5 | Точен квадрат |
| 26 | 5.0990 | √26 | Ирационален |
| 27 | 5.1962 | 3√3 | Ирационален |
| 28 | 5.2915 | 2√7 | Ирационален |
| 29 | 5.3852 | √29 | Ирационален |
| 30 | 5.4772 | √30 | Ирационален |
| 31 | 5.5678 | √31 | Ирационален |
| 32 | 5.6569 | 4√2 | Ирационален |
| 33 | 5.7446 | √33 | Ирационален |
| 34 | 5.8310 | √34 | Ирационален |
| 35 | 5.9161 | √35 | Ирационален |
| 36 * | 6.0000 | 6 | Точен квадрат |
| 37 | 6.0828 | √37 | Ирационален |
| 38 | 6.1644 | √38 | Ирационален |
| 39 | 6.2450 | √39 | Ирационален |
| 40 | 6.3246 | 2√10 | Ирационален |
| 41 | 6.4031 | √41 | Ирационален |
| 42 | 6.4807 | √42 | Ирационален |
| 43 | 6.5574 | √43 | Ирационален |
| 44 | 6.6332 | 2√11 | Ирационален |
| 45 | 6.7082 | 3√5 | Ирационален |
| 46 | 6.7823 | √46 | Ирационален |
| 47 | 6.8557 | √47 | Ирационален |
| 48 | 6.9282 | 4√3 | Ирационален |
| 49 * | 7.0000 | 7 | Точен квадрат |
| 50 | 7.0711 | 5√2 | Ирационален |
Опростяване
Примери за опростяване на квадратни корени
Опростяването означава изнасяне на най-големия точен квадрат извън корена:
| Начален корен | Опростен вид | Разлагане и обяснение | Test |
|---|---|---|---|
| √8 | √(4 × 2) → 2√2 | 8 = 4 × 2, √4 = 2 | |
| √12 | √(4 × 3) → 2√3 | 12 = 4 × 3, √4 = 2 | |
| √18 | √(9 × 2) → 3√2 | 18 = 9 × 2, √9 = 3 | |
| √20 | √(4 × 5) → 2√5 | 20 = 4 × 5, √4 = 2 | |
| √32 | √(16 × 2) → 4√2 | 32 = 16 × 2, √16 = 4 | |
| √45 | √(9 × 5) → 3√5 | 45 = 9 × 5, √9 = 3 | |
| √50 | √(25 × 2) → 5√2 | 50 = 25 × 2, √25 = 5 | |
| √72 | √(36 × 2) → 6√2 | 72 = 36 × 2, √36 = 6 | |
| √75 | √(25 × 3) → 5√3 | 75 = 25 × 3, √25 = 5 | |
| √98 | √(49 × 2) → 7√2 | 98 = 49 × 2, √49 = 7 | |
| √200 | √(100 × 2) → 10√2 | 200 = 100 × 2, √100 = 10 |
Правилото за произведение позволява изнасяне на цели множители.
Практика
Приложение на квадратния корен в реалния живот
Квадратните корени се използват навсякъде в науката и ежедневието:
Строителство и архитектура
Питагоровата теорема (a² + b² = c²) за изчисляване на диагонали и наклони (напр. √(3² + 4²) = 5 м).
Финанси и инвестиции
Стандартното отклонение като мярка за риск и волатилност е корен квадратен от дисперсията.
Физика и инженерство
Скорост при свободно падане (v = √(2gh)), трептене на махало и променлив ток.
Компютърни науки и 3D
Евклидово разстояние в игри, засичане на сблъсъци и алгоритми с времеемкост √n.
Ежедневни измервания
Намиране страна на стая по площ: стая от 64 кв.м има страни от √64 = 8 м.
Чести въпроси
Често задавани въпроси (FAQ)
Как се използва калкулаторът за квадратен корен?
Въведете числото в полето по-горе и натиснете «Изчисли». Получавате десетична стойност, опростен корен и разлагане.
Какво означава «racine carrée»?
«Racine carrée» е френското наименование на квадратен корен.
Калкулаторът работи ли с отрицателни числа?
Да, връща резултата в комплексни числа с имагинерната единица i (напр. √(-16) = 4i).
Каква е разликата между квадратен и кубичен корен?
Квадратният търси число, умножено 2 пъти (степен 2), а кубичният — 3 пъти (степен 3).
Как се смята корен без калкулатор?
Чрез разлагане на прости множители, писмен метод за коренуване или вавилонско приближение.
Какво е точен квадрат?
Цяло число, чийто квадратен корен е също цяло число (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100).
Всички корени ли са рационални числа?
Не, само корените от точни квадрати са рационални. Останалите са ирационални числа.
Безплатен ли е този калкулатор?
Да, напълно безплатен е, без ограничения и без необходимост от регистрация.
Мога ли да коренувам дроби?
Да, можете да въвеждате десетични и обикновени дроби.
Какво е аритметичен корен?
Това е неотрицателната стойност на корена, приета като стандарт за символа √.
Обобщение
Обобщение и ключови изводи
Главно правило
Квадратният корен отговаря на въпроса: кое число, умножено само по себе си, дава тази стойност? Използвайте нашия безплатен калкулатор за бързи и точни резултати.
Definition: √x is the non-negative value y such that y² = x.
Simplification: Factor out perfect square integers using √(a × b) = √a × √b.
Complex Numbers: Negative numbers evaluate cleanly via the imaginary unit i (√(−a) = i√a).